Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3576 / 1864
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W 22.851562°		 ← 1 708.53 m → N 69.534518°
W 22.807617°		 →
↑
1 709.15 m
↓
↑
1 709.15 m
↓
N 69.519147°
W 22.851562°		 ← 1 709.76 m →
2 921 177 m²		 N 69.519147°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43658447265625 y=0.22760009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43658447265625 × 213)
    floor (0.43658447265625 × 8192)
    floor (3576.5)     		tx = 3576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22760009765625 × 213)
    floor (0.22760009765625 × 8192)
    floor (1864.5)     		ty = 1864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3576 / 1864 ti = "13/3576/1864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3576/1864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3576 ÷ 213
    3576 ÷ 8192     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1864 ÷ 213
    1864 ÷ 8192     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3576 KachelY 1864 -0.39883500 1.21360628 -22.851562 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 3577 KachelY 1864 -0.39806801 1.21360628 -22.807617 69.534518
    Unten links KachelX 3576 KachelY + 1 1865 -0.39883500 1.21333801 -22.851562 69.519147
    Unten rechts KachelX + 1 3577 KachelY + 1 1865 -0.39806801 1.21333801 -22.807617 69.519147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21333801) × R
    0.00026827000000007 × 6371000     		dl = 1709.14817000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21333801) × R
    0.00026827000000007 × 6371000     		dr = 1709.14817000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39806801) × cos(1.21360628) × R
    0.000766989999999967 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 1708.52826969586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39806801) × cos(1.21333801) × R
    0.000766989999999967 × 0.349894344725622 × 6371000     		du = 1709.75636771063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21333801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349894344725622)×R²
    abs(-0.39806801--0.39883500)×0.000251325018143456×R²
    0.000766989999999967×0.000251325018143456×6371000²
    0.000766989999999967×0.000251325018143456×40589641000000     		ar = 2921177.48380426m²