Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35756 / 31557
↖ ↑ ↗
← N  6.637326°
E 16.413574°		 ← 606.76 m → N  6.637326°
E 16.419068°		 →
↑
606.71 m
↓
↑
606.71 m
↓
N  6.631870°
E 16.413574°		 ← 606.76 m →
368 128 m²		 N  6.631870°
E 16.419068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545600891113281 y=0.481529235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545600891113281 × 216)
    floor (0.545600891113281 × 65536)
    floor (35756.5)     		tx = 35756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481529235839844 × 216)
    floor (0.481529235839844 × 65536)
    floor (31557.5)     		ty = 31557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35756 / 31557 ti = "16/35756/31557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35756/31557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35756 ÷ 216
    35756 ÷ 65536     		x = 0.54559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31557 ÷ 216
    31557 ÷ 65536     		y = 0.481521606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54559326171875 × 2 - 1) × π
    0.0911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28647091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481521606445312 × 2 - 1) × π
    0.036956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116103170879776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28647091} λ = 0.28647091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116103170879776))-π/2
    2×atan(1.12311173858229)-π/2
    2×0.843319764601882-π/2
    1.68663952920376-1.57079632675     		φ = 0.11584320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28647091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11584320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.637326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35756 KachelY 31557 0.28647091 0.11584320 16.413574 6.637326
    Oben rechts KachelX + 1 35757 KachelY 31557 0.28656679 0.11584320 16.419068 6.637326
    Unten links KachelX 35756 KachelY + 1 31558 0.28647091 0.11574797 16.413574 6.631870
    Unten rechts KachelX + 1 35757 KachelY + 1 31558 0.28656679 0.11574797 16.419068 6.631870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11584320-0.11574797) × R
    9.52299999999878e-05 × 6371000     		dl = 606.710329999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11584320-0.11574797) × R
    9.52299999999878e-05 × 6371000     		dr = 606.710329999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28647091-0.28656679) × cos(0.11584320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993297676773037 × 6371000     		do = 606.757355937325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28647091-0.28656679) × cos(0.11574797) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993308679359827 × 6371000     		du = 606.764076883749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11584320)-sin(0.11574797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993297676773037-0.993308679359827)×R²
    abs(0.28656679-0.28647091)×1.10025867902097e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.10025867902097e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.10025867902097e-05×40589641000000     		ar = 368127.994762608m²