Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35755 / 31597
↖ ↑ ↗
← N  6.419025°
E 16.408081°		 ← 606.96 m → N  6.419025°
E 16.413574°		 →
↑
606.97 m
↓
↑
606.97 m
↓
N  6.413566°
E 16.408081°		 ← 606.97 m →
368 405 m²		 N  6.413566°
E 16.413574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545585632324219 y=0.482139587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545585632324219 × 216)
    floor (0.545585632324219 × 65536)
    floor (35755.5)     		tx = 35755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482139587402344 × 216)
    floor (0.482139587402344 × 65536)
    floor (31597.5)     		ty = 31597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35755 / 31597 ti = "16/35755/31597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35755/31597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35755 ÷ 216
    35755 ÷ 65536     		x = 0.545578002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31597 ÷ 216
    31597 ÷ 65536     		y = 0.482131958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545578002929688 × 2 - 1) × π
    0.091156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28637504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482131958007812 × 2 - 1) × π
    0.035736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.112268218910172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28637504} λ = 0.28637504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112268218910172))-π/2
    2×atan(1.11881290718282)-π/2
    2×0.841414722585669-π/2
    1.68282944517134-1.57079632675     		φ = 0.11203312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28637504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.408081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11203312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.419025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35755 KachelY 31597 0.28637504 0.11203312 16.408081 6.419025
    Oben rechts KachelX + 1 35756 KachelY 31597 0.28647091 0.11203312 16.413574 6.419025
    Unten links KachelX 35755 KachelY + 1 31598 0.28637504 0.11193785 16.408081 6.413566
    Unten rechts KachelX + 1 35756 KachelY + 1 31598 0.28647091 0.11193785 16.413574 6.413566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11203312-0.11193785) × R
    9.52699999999945e-05 × 6371000     		dl = 606.965169999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11203312-0.11193785) × R
    9.52699999999945e-05 × 6371000     		dr = 606.965169999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28637504-0.28647091) × cos(0.11203312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99373085135517 × 6371000     		do = 606.958650679412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28637504-0.28647091) × cos(0.11193785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993741497927057 × 6371000     		du = 606.965153475314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11203312)-sin(0.11193785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99373085135517-0.993741497927057)×R²
    abs(0.28647091-0.28637504)×1.06465718872073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.06465718872073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.06465718872073e-05×40589641000000     		ar = 368404.734356503m²