Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35754 / 31568
↖ ↑ ↗
← N  6.577303°
E 16.402588°		 ← 606.83 m → N  6.577303°
E 16.408081°		 →
↑
606.84 m
↓
↑
606.84 m
↓
N  6.571846°
E 16.402588°		 ← 606.84 m →
368 250 m²		 N  6.571846°
E 16.408081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545570373535156 y=0.481697082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545570373535156 × 216)
    floor (0.545570373535156 × 65536)
    floor (35754.5)     		tx = 35754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481697082519531 × 216)
    floor (0.481697082519531 × 65536)
    floor (31568.5)     		ty = 31568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35754 / 31568 ti = "16/35754/31568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35754/31568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35754 ÷ 216
    35754 ÷ 65536     		x = 0.545562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31568 ÷ 216
    31568 ÷ 65536     		y = 0.481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545562744140625 × 2 - 1) × π
    0.09112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28627916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28627916} λ = 0.28627916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115048559088135))-π/2
    2×atan(1.12192791604577)-π/2
    2×0.842795961052291-π/2
    1.68559192210458-1.57079632675     		φ = 0.11479560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28627916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.402588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11479560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.577303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35754 KachelY 31568 0.28627916 0.11479560 16.402588 6.577303
    Oben rechts KachelX + 1 35755 KachelY 31568 0.28637504 0.11479560 16.408081 6.577303
    Unten links KachelX 35754 KachelY + 1 31569 0.28627916 0.11470035 16.402588 6.571846
    Unten rechts KachelX + 1 35755 KachelY + 1 31569 0.28637504 0.11470035 16.408081 6.571846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11479560-0.11470035) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dl = 606.837749999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11479560-0.11470035) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dr = 606.837749999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28627916-0.28637504) × cos(0.11479560) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.993418217785461 × 6371000     		do = 606.830988593516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28627916-0.28637504) × cos(0.11470035) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.993429123560359 × 6371000     		du = 606.837650402253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11479560)-sin(0.11470035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993418217785461-0.993429123560359)×R²
    abs(0.28637504-0.28627916)×1.09057748979291e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.09057748979291e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.09057748979291e-05×40589641000000     		ar = 368249.973345246m²