Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35752 / 31554
↖ ↑ ↗
← N  6.653695°
E 16.391602°		 ← 606.67 m → N  6.653695°
E 16.397095°		 →
↑
606.71 m
↓
↑
606.71 m
↓
N  6.648239°
E 16.391602°		 ← 606.68 m →
368 077 m²		 N  6.648239°
E 16.397095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545539855957031 y=0.481483459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545539855957031 × 216)
    floor (0.545539855957031 × 65536)
    floor (35752.5)     		tx = 35752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481483459472656 × 216)
    floor (0.481483459472656 × 65536)
    floor (31554.5)     		ty = 31554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35752 / 31554 ti = "16/35752/31554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35752/31554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35752 ÷ 216
    35752 ÷ 65536     		x = 0.5455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31554 ÷ 216
    31554 ÷ 65536     		y = 0.481475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5455322265625 × 2 - 1) × π
    0.091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28608742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481475830078125 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.116390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28608742} λ = 0.28608742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116390792277496))-π/2
    2×atan(1.1234348160101)-π/2
    2×0.843462609058562-π/2
    1.68692521811712-1.57079632675     		φ = 0.11612889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28608742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.391602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11612889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.653695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35752 KachelY 31554 0.28608742 0.11612889 16.391602 6.653695
    Oben rechts KachelX + 1 35753 KachelY 31554 0.28618329 0.11612889 16.397095 6.653695
    Unten links KachelX 35752 KachelY + 1 31555 0.28608742 0.11603366 16.391602 6.648239
    Unten rechts KachelX + 1 35753 KachelY + 1 31555 0.28618329 0.11603366 16.397095 6.648239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11612889-0.11603366) × R
    9.52300000000017e-05 × 6371000     		dl = 606.710330000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11612889-0.11603366) × R
    9.52300000000017e-05 × 6371000     		dr = 606.710330000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28608742-0.28618329) × cos(0.11612889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993264614965239 × 6371000     		do = 606.673879194513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28608742-0.28618329) × cos(0.11603366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993275644575643 × 6371000     		du = 606.680615945656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11612889)-sin(0.11603366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993264614965239-0.993275644575643)×R²
    abs(0.28618329-0.28608742)×1.10296104041119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.10296104041119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.10296104041119e-05×40589641000000     		ar = 368077.353354936m²