Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3575 / 2829
↖ ↑ ↗
← N 48.545706°
W 22.895508°		 ← 3 235.01 m → N 48.545706°
W 22.851562°		 →
↑
3 235.89 m
↓
↑
3 235.89 m
↓
N 48.516604°
W 22.895508°		 ← 3 236.87 m →
10 471 161 m²		 N 48.516604°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43646240234375 y=0.34539794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43646240234375 × 213)
    floor (0.43646240234375 × 8192)
    floor (3575.5)     		tx = 3575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34539794921875 × 213)
    floor (0.34539794921875 × 8192)
    floor (2829.5)     		ty = 2829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3575 / 2829 ti = "13/3575/2829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3575/2829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3575 ÷ 213
    3575 ÷ 8192     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2829 ÷ 213
    2829 ÷ 8192     		y = 0.3453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3453369140625 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971776829097778))-π/2
    2×atan(2.64263580245106)-π/2
    2×1.20903936265637-π/2
    2.41807872531274-1.57079632675     		φ = 0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3575 KachelY 2829 -0.39960200 0.84728240 -22.895508 48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 3576 KachelY 2829 -0.39883500 0.84728240 -22.851562 48.545706
    Unten links KachelX 3575 KachelY + 1 2830 -0.39960200 0.84677449 -22.895508 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 3576 KachelY + 1 2830 -0.39883500 0.84677449 -22.851562 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84728240-0.84677449) × R
    0.000507909999999945 × 6371000     		dl = 3235.89460999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84728240-0.84677449) × R
    0.000507909999999945 × 6371000     		dr = 3235.89460999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39883500) × cos(0.84728240) × R
    0.000767000000000018 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 3235.01012397262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39883500) × cos(0.84677449) × R
    0.000767000000000018 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 3236.86987447479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84728240)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.39883500--0.39960200)×0.000380585042223935×R²
    0.000767000000000018×0.000380585042223935×6371000²
    0.000767000000000018×0.000380585042223935×40589641000000     		ar = 10471161.0268737m²