Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3575 / 2554
↖ ↑ ↗
← N 76.870796°
W101.447754°		 ← 554.97 m → N 76.870796°
W101.425781°		 →
↑
555.04 m
↓
↑
555.04 m
↓
N 76.865804°
W101.447754°		 ← 555.18 m →
308 089 m²		 N 76.865804°
W101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218231201171875 y=0.155914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218231201171875 × 214)
    floor (0.218231201171875 × 16384)
    floor (3575.5)     		tx = 3575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155914306640625 × 214)
    floor (0.155914306640625 × 16384)
    floor (2554.5)     		ty = 2554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3575 / 2554 ti = "14/3575/2554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3575/2554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3575 ÷ 214
    3575 ÷ 16384     		x = 0.21820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2554 ÷ 214
    2554 ÷ 16384     		y = 0.1558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77059732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1558837890625 × 2 - 1) × π
    0.688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16214592046301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77059732} λ = -1.77059732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16214592046301))-π/2
    2×atan(8.68976520967573)-π/2
    2×1.45622240974476-π/2
    2.91244481948952-1.57079632675     		φ = 1.34164849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77059732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34164849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.870796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3575 KachelY 2554 -1.77059732 1.34164849 -101.447754 76.870796
    Oben rechts KachelX + 1 3576 KachelY 2554 -1.77021383 1.34164849 -101.425781 76.870796
    Unten links KachelX 3575 KachelY + 1 2555 -1.77059732 1.34156137 -101.447754 76.865804
    Unten rechts KachelX + 1 3576 KachelY + 1 2555 -1.77021383 1.34156137 -101.425781 76.865804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34164849-1.34156137) × R
    8.71200000001071e-05 × 6371000     		dl = 555.041520000682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34164849-1.34156137) × R
    8.71200000001071e-05 × 6371000     		dr = 555.041520000682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77059732--1.77021383) × cos(1.34164849) × R
    0.000383489999999931 × 0.227147718183144 × 6371000     		do = 554.970664579709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77059732--1.77021383) × cos(1.34156137) × R
    0.000383489999999931 × 0.22723256003171 × 6371000     		du = 555.177951438938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34164849)-sin(1.34156137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227147718183144-0.22723256003171)×R²
    abs(-1.77021383--1.77059732)×8.48418485663582e-05×R²
    0.000383489999999931×8.48418485663582e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.48418485663582e-05×40589641000000     		ar = 308089.287825719m²