Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3574 / 558
↖ ↑ ↗
← N 78.384855°
E134.121094°		 ← 1 967.66 m → N 78.384855°
E134.208984°		 →
↑
1 969.15 m
↓
↑
1 969.15 m
↓
N 78.367146°
E134.121094°		 ← 1 970.62 m →
3 877 533 m²		 N 78.367146°
E134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8726806640625 y=0.1363525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8726806640625 × 212)
    floor (0.8726806640625 × 4096)
    floor (3574.5)     		tx = 3574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1363525390625 × 212)
    floor (0.1363525390625 × 4096)
    floor (558.5)     		ty = 558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3574 / 558 ti = "12/3574/558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3574/558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3574 ÷ 212
    3574 ÷ 4096     		x = 0.87255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 558 ÷ 212
    558 ÷ 4096     		y = 0.13623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87255859375 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34085468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    0.7275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34085468} λ = 2.34085468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28563137388428))-π/2
    2×atan(9.83189186452784)-π/2
    2×1.46943506651837-π/2
    2.93887013303673-1.57079632675     		φ = 1.36807381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34085468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36807381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.384855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3574 KachelY 558 2.34085468 1.36807381 134.121094 78.384855
    Oben rechts KachelX + 1 3575 KachelY 558 2.34238866 1.36807381 134.208984 78.384855
    Unten links KachelX 3574 KachelY + 1 559 2.34085468 1.36776473 134.121094 78.367146
    Unten rechts KachelX + 1 3575 KachelY + 1 559 2.34238866 1.36776473 134.208984 78.367146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36807381-1.36776473) × R
    0.000309080000000073 × 6371000     		dl = 1969.14868000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36807381-1.36776473) × R
    0.000309080000000073 × 6371000     		dr = 1969.14868000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34085468-2.34238866) × cos(1.36807381) × R
    0.00153398000000005 × 0.201336838939343 × 6371000     		do = 1967.66222501388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34085468-2.34238866) × cos(1.36776473) × R
    0.00153398000000005 × 0.201639579997705 × 6371000     		du = 1970.62090931447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36807381)-sin(1.36776473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201336838939343-0.201639579997705)×R²
    abs(2.34238866-2.34085468)×0.000302741058361949×R²
    0.00153398000000005×0.000302741058361949×6371000²
    0.00153398000000005×0.000302741058361949×40589641000000     		ar = 3877532.54858858m²