Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3574 / 2830
↖ ↑ ↗
← N 48.516604°
W 22.939453°		 ← 3 236.83 m → N 48.516604°
W 22.895508°		 →
↑
3 237.74 m
↓
↑
3 237.74 m
↓
N 48.487487°
W 22.939453°		 ← 3 238.69 m →
10 483 025 m²		 N 48.487487°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43634033203125 y=0.34552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43634033203125 × 213)
    floor (0.43634033203125 × 8192)
    floor (3574.5)     		tx = 3574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34552001953125 × 213)
    floor (0.34552001953125 × 8192)
    floor (2830.5)     		ty = 2830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3574 / 2830 ti = "13/3574/2830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3574/2830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3574 ÷ 213
    3574 ÷ 8192     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2830 ÷ 213
    2830 ÷ 8192     		y = 0.345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971009838703857))-π/2
    2×atan(2.64060970327457)-π/2
    2×1.20878540727582-π/2
    2.41757081455165-1.57079632675     		φ = 0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3574 KachelY 2830 -0.40036899 0.84677449 -22.939453 48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 3575 KachelY 2830 -0.39960200 0.84677449 -22.895508 48.516604
    Unten links KachelX 3574 KachelY + 1 2831 -0.40036899 0.84626629 -22.939453 48.487487
    Unten rechts KachelX + 1 3575 KachelY + 1 2831 -0.39960200 0.84626629 -22.895508 48.487487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84677449-0.84626629) × R
    0.00050820000000007 × 6371000     		dl = 3237.74220000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84677449-0.84626629) × R
    0.00050820000000007 × 6371000     		dr = 3237.74220000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(0.84677449) × R
    0.000766989999999967 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 3236.8276727813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(0.84626629) × R
    0.000766989999999967 × 0.662783602257093 × 6371000     		du = 3238.68762515117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84677449)-sin(0.84626629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.662783602257093)×R²
    abs(-0.39960200--0.40036899)×0.000380631315646696×R²
    0.000766989999999967×0.000380631315646696×6371000²
    0.000766989999999967×0.000380631315646696×40589641000000     		ar = 10483024.7990526m²