Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3574 / 2590
↖ ↑ ↗
← N 76.689906°
W101.469727°		 ← 562.49 m → N 76.689906°
W101.447754°		 →
↑
562.62 m
↓
↑
562.62 m
↓
N 76.684846°
W101.469727°		 ← 562.70 m →
316 531 m²		 N 76.684846°
W101.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218170166015625 y=0.158111572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218170166015625 × 214)
    floor (0.218170166015625 × 16384)
    floor (3574.5)     		tx = 3574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158111572265625 × 214)
    floor (0.158111572265625 × 16384)
    floor (2590.5)     		ty = 2590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3574 / 2590 ti = "14/3574/2590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3574/2590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3574 ÷ 214
    3574 ÷ 16384     		x = 0.2181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2590 ÷ 214
    2590 ÷ 16384     		y = 0.1580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77098082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    0.683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14834009337244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77098082} λ = -1.77098082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14834009337244))-π/2
    2×atan(8.57062015417389)-π/2
    2×1.45464384320575-π/2
    2.9092876864115-1.57079632675     		φ = 1.33849136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77098082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.469727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33849136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.689906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3574 KachelY 2590 -1.77098082 1.33849136 -101.469727 76.689906
    Oben rechts KachelX + 1 3575 KachelY 2590 -1.77059732 1.33849136 -101.447754 76.689906
    Unten links KachelX 3574 KachelY + 1 2591 -1.77098082 1.33840305 -101.469727 76.684846
    Unten rechts KachelX + 1 3575 KachelY + 1 2591 -1.77059732 1.33840305 -101.447754 76.684846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33849136-1.33840305) × R
    8.83099999999803e-05 × 6371000     		dl = 562.623009999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33849136-1.33840305) × R
    8.83099999999803e-05 × 6371000     		dr = 562.623009999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77098082--1.77059732) × cos(1.33849136) × R
    0.00038349999999987 × 0.230221184650307 × 6371000     		do = 562.494470700434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77098082--1.77059732) × cos(1.33840305) × R
    0.00038349999999987 × 0.230307121598265 × 6371000     		du = 562.704438597737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33849136)-sin(1.33840305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230221184650307-0.230307121598265)×R²
    abs(-1.77059732--1.77098082)×8.59369479584982e-05×R²
    0.00038349999999987×8.59369479584982e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.59369479584982e-05×40589641000000     		ar = 316531.398804515m²