Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3574 / 1814
↖ ↑ ↗
← N 70.289116°
W 22.939453°		 ← 1 648.09 m → N 70.289116°
W 22.895508°		 →
↑
1 648.69 m
↓
↑
1 648.69 m
↓
N 70.274289°
W 22.939453°		 ← 1 649.28 m →
2 718 162 m²		 N 70.274289°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43634033203125 y=0.22149658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43634033203125 × 213)
    floor (0.43634033203125 × 8192)
    floor (3574.5)     		tx = 3574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22149658203125 × 213)
    floor (0.22149658203125 × 8192)
    floor (1814.5)     		ty = 1814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3574 / 1814 ti = "13/3574/1814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3574/1814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3574 ÷ 213
    3574 ÷ 8192     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1814 ÷ 213
    1814 ÷ 8192     		y = 0.221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221435546875 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75027207892749))-π/2
    2×atan(5.75616859514709)-π/2
    2×1.39878642026104-π/2
    2.79757284052207-1.57079632675     		φ = 1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3574 KachelY 1814 -0.40036899 1.22677651 -22.939453 70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 3575 KachelY 1814 -0.39960200 1.22677651 -22.895508 70.289116
    Unten links KachelX 3574 KachelY + 1 1815 -0.40036899 1.22651773 -22.939453 70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 3575 KachelY + 1 1815 -0.39960200 1.22651773 -22.895508 70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22677651-1.22651773) × R
    0.000258780000000014 × 6371000     		dl = 1648.68738000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22677651-1.22651773) × R
    0.000258780000000014 × 6371000     		dr = 1648.68738000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(1.22677651) × R
    0.000766989999999967 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 1648.08757073383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.39960200) × cos(1.22651773) × R
    0.000766989999999967 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 1649.27794921706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22677651)-sin(1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.39960200--0.40036899)×0.000243605876972641×R²
    0.000766989999999967×0.000243605876972641×6371000²
    0.000766989999999967×0.000243605876972641×40589641000000     		ar = 2718162.47516574m²