Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3573 / 550
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
E134.033203°		 ← 1 944.15 m → N 78.525573°
E134.121094°		 →
↑
1 945.64 m
↓
↑
1 945.64 m
↓
N 78.508075°
E134.033203°		 ← 1 947.07 m →
3 785 452 m²		 N 78.508075°
E134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8724365234375 y=0.1343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8724365234375 × 212)
    floor (0.8724365234375 × 4096)
    floor (3573.5)     		tx = 3573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1343994140625 × 212)
    floor (0.1343994140625 × 4096)
    floor (550.5)     		ty = 550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3573 / 550 ti = "12/3573/550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3573/550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3573 ÷ 212
    3573 ÷ 4096     		x = 0.872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 550 ÷ 212
    550 ÷ 4096     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872314453125 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33932070} λ = 2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3573 KachelY 550 2.33932070 1.37052979 134.033203 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 3574 KachelY 550 2.34085468 1.37052979 134.121094 78.525573
    Unten links KachelX 3573 KachelY + 1 551 2.33932070 1.37022440 134.033203 78.508075
    Unten rechts KachelX + 1 3574 KachelY + 1 551 2.34085468 1.37022440 134.121094 78.508075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37022440) × R
    0.000305390000000072 × 6371000     		dl = 1945.63969000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37022440) × R
    0.000305390000000072 × 6371000     		dr = 1945.63969000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33932070-2.34085468) × cos(1.37052979) × R
    0.00153398000000005 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 1944.14557145556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33932070-2.34085468) × cos(1.37022440) × R
    0.00153398000000005 × 0.199229824608759 × 6371000     		du = 1947.07040223722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37022440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.199229824608759)×R²
    abs(2.34085468-2.33932070)×0.000299277069267717×R²
    0.00153398000000005×0.000299277069267717×6371000²
    0.00153398000000005×0.000299277069267717×40589641000000     		ar = 3785452.14981106m²