Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3573 / 4589
↖ ↑ ↗
← N 78.105091°
W140.745849°		 ← 251.79 m → N 78.105091°
W140.734863°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 78.102826°
W140.745849°		 ← 251.84 m →
63 418 m²		 N 78.102826°
W140.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109054565429688 y=0.140060424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109054565429688 × 215)
    floor (0.109054565429688 × 32768)
    floor (3573.5)     		tx = 3573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140060424804688 × 215)
    floor (0.140060424804688 × 32768)
    floor (4589.5)     		ty = 4589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3573 / 4589 ti = "15/3573/4589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3573/4589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3573 ÷ 215
    3573 ÷ 32768     		x = 0.109039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4589 ÷ 215
    4589 ÷ 32768     		y = 0.140045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.78192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45647848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140045166015625 × 2 - 1) × π
    0.71990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26166292407425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45647848} λ = -2.45647848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26166292407425))-π/2
    2×atan(9.59903837393037)-π/2
    2×1.46699366300841-π/2
    2.93398732601683-1.57079632675     		φ = 1.36319100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45647848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.745849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36319100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.105091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3573 KachelY 4589 -2.45647848 1.36319100 -140.745849 78.105091
    Oben rechts KachelX + 1 3574 KachelY 4589 -2.45628674 1.36319100 -140.734863 78.105091
    Unten links KachelX 3573 KachelY + 1 4590 -2.45647848 1.36315147 -140.745849 78.102826
    Unten rechts KachelX + 1 3574 KachelY + 1 4590 -2.45628674 1.36315147 -140.734863 78.102826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36319100-1.36315147) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36319100-1.36315147) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45647848--2.45628674) × cos(1.36319100) × R
    0.000191739999999996 × 0.206117239957091 × 6371000     		do = 251.787778703887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45647848--2.45628674) × cos(1.36315147) × R
    0.000191739999999996 × 0.20615592098034 × 6371000     		du = 251.835030495751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36319100)-sin(1.36315147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206117239957091-0.20615592098034)×R²
    abs(-2.45628674--2.45647848)×3.86810232496371e-05×R²
    0.000191739999999996×3.86810232496371e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.86810232496371e-05×40589641000000     		ar = 63417.6018416646m²