Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3573 / 1106
↖ ↑ ↗
← N 78.473001°
W 22.983399°		 ← 976.47 m → N 78.473001°
W 22.939453°		 →
↑
976.80 m
↓
↑
976.80 m
↓
N 78.464217°
W 22.983399°		 ← 977.20 m →
954 173 m²		 N 78.464217°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43621826171875 y=0.13507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43621826171875 × 213)
    floor (0.43621826171875 × 8192)
    floor (3573.5)     		tx = 3573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13507080078125 × 213)
    floor (0.13507080078125 × 8192)
    floor (1106.5)     		ty = 1106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3573 / 1106 ti = "13/3573/1106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3573/1106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3573 ÷ 213
    3573 ÷ 8192     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1106 ÷ 213
    1106 ÷ 8192     		y = 0.135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    0.72998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29330127782349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29330127782349))-π/2
    2×atan(9.90759146389647)-π/2
    2×1.47020429018905-π/2
    2.94040858037811-1.57079632675     		φ = 1.36961225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36961225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.473001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3573 KachelY 1106 -0.40113598 1.36961225 -22.983399 78.473001
    Oben rechts KachelX + 1 3574 KachelY 1106 -0.40036899 1.36961225 -22.939453 78.473001
    Unten links KachelX 3573 KachelY + 1 1107 -0.40113598 1.36945893 -22.983399 78.464217
    Unten rechts KachelX + 1 3574 KachelY + 1 1107 -0.40036899 1.36945893 -22.939453 78.464217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36961225-1.36945893) × R
    0.000153320000000123 × 6371000     		dl = 976.801720000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36961225-1.36945893) × R
    0.000153320000000123 × 6371000     		dr = 976.801720000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40036899) × cos(1.36961225) × R
    0.000766990000000023 × 0.19982966534522 × 6371000     		do = 976.466318852393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40036899) × cos(1.36945893) × R
    0.000766990000000023 × 0.199979890631359 × 6371000     		du = 977.2003937051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36961225)-sin(1.36945893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19982966534522-0.199979890631359)×R²
    abs(-0.40036899--0.40113598)×0.000150225286139005×R²
    0.000766990000000023×0.000150225286139005×6371000²
    0.000766990000000023×0.000150225286139005×40589641000000     		ar = 954172.504437088m²