Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35729 / 104754
↖ ↑ ↗
← S 72.648124°
W 81.867371°		 ← 91.09 m → S 72.648124°
W 81.864624°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 72.648943°
W 81.867371°		 ← 91.09 m →
8 299 m²		 S 72.648943°
W 81.864624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272594451904297 y=0.799213409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272594451904297 × 217)
    floor (0.272594451904297 × 131072)
    floor (35729.5)     		tx = 35729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799213409423828 × 217)
    floor (0.799213409423828 × 131072)
    floor (104754.5)     		ty = 104754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35729 / 104754 ti = "17/35729/104754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35729/104754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35729 ÷ 217
    35729 ÷ 131072     		x = 0.272590637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104754 ÷ 217
    104754 ÷ 131072     		y = 0.799209594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272590637207031 × 2 - 1) × π
    -0.454818725585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.42885517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799209594726562 × 2 - 1) × π
    -0.598419189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87998932929936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42885517} λ = -1.42885517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87998932929936))-π/2
    2×atan(0.15259173400891)-π/2
    2×0.151423682032881-π/2
    0.302847364065762-1.57079632675     		φ = -1.26794896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42885517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.867371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26794896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.648124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35729 KachelY 104754 -1.42885517 -1.26794896 -81.867371 -72.648124
    Oben rechts KachelX + 1 35730 KachelY 104754 -1.42880723 -1.26794896 -81.864624 -72.648124
    Unten links KachelX 35729 KachelY + 1 104755 -1.42885517 -1.26796326 -81.867371 -72.648943
    Unten rechts KachelX + 1 35730 KachelY + 1 104755 -1.42880723 -1.26796326 -81.864624 -72.648943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26794896--1.26796326) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26794896--1.26796326) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42885517--1.42880723) × cos(-1.26794896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298239198418887 × 6371000     		do = 91.0899278740356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42885517--1.42880723) × cos(-1.26796326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298225549164761 × 6371000     		du = 91.0857590404937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26794896)-sin(-1.26796326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298239198418887-0.298225549164761)×R²
    abs(-1.42880723--1.42885517)×1.3649254125947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3649254125947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3649254125947e-05×40589641000000     		ar = 8298.58530455087m²