Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35727 / 31311
↖ ↑ ↗
← N  7.977638°
E 16.254272°		 ← 604.94 m → N  7.977638°
E 16.259766°		 →
↑
604.93 m
↓
↑
604.93 m
↓
N  7.972198°
E 16.254272°		 ← 604.95 m →
365 947 m²		 N  7.972198°
E 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545158386230469 y=0.477775573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545158386230469 × 216)
    floor (0.545158386230469 × 65536)
    floor (35727.5)     		tx = 35727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477775573730469 × 216)
    floor (0.477775573730469 × 65536)
    floor (31311.5)     		ty = 31311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35727 / 31311 ti = "16/35727/31311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35727/31311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35727 ÷ 216
    35727 ÷ 65536     		x = 0.545150756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31311 ÷ 216
    31311 ÷ 65536     		y = 0.477767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545150756835938 × 2 - 1) × π
    0.090301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28369057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477767944335938 × 2 - 1) × π
    0.044464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.139688125492844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28369057} λ = 0.28369057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139688125492844))-π/2
    2×atan(1.1499151137184)-π/2
    2×0.855016186060504-π/2
    1.71003237212101-1.57079632675     		φ = 0.13923605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28369057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.254272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13923605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.977638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35727 KachelY 31311 0.28369057 0.13923605 16.254272 7.977638
    Oben rechts KachelX + 1 35728 KachelY 31311 0.28378645 0.13923605 16.259766 7.977638
    Unten links KachelX 35727 KachelY + 1 31312 0.28369057 0.13914110 16.254272 7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 35728 KachelY + 1 31312 0.28378645 0.13914110 16.259766 7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13923605-0.13914110) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dl = 604.926450000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13923605-0.13914110) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dr = 604.926450000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28369057-0.28378645) × cos(0.13923605) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.990322311209981 × 6371000     		do = 604.939849479941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28369057-0.28378645) × cos(0.13914110) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 604.947896424025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13923605)-sin(0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990322311209981-0.990335484533361)×R²
    abs(0.28378645-0.28369057)×1.31733233800224e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.31733233800224e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.31733233800224e-05×40589641000000     		ar = 365946.549789005m²