Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35721 / 31503
↖ ↑ ↗
← N  6.931880°
E 16.221314°		 ← 606.32 m → N  6.931880°
E 16.226806°		 →
↑
606.39 m
↓
↑
606.39 m
↓
N  6.926427°
E 16.221314°		 ← 606.33 m →
367 671 m²		 N  6.926427°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545066833496094 y=0.480705261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545066833496094 × 216)
    floor (0.545066833496094 × 65536)
    floor (35721.5)     		tx = 35721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480705261230469 × 216)
    floor (0.480705261230469 × 65536)
    floor (31503.5)     		ty = 31503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35721 / 31503 ti = "16/35721/31503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35721/31503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35721 ÷ 216
    35721 ÷ 65536     		x = 0.545059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31503 ÷ 216
    31503 ÷ 65536     		y = 0.480697631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545059204101562 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480697631835938 × 2 - 1) × π
    0.038604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.121280356038742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28311533} λ = 0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121280356038742))-π/2
    2×atan(1.12894137353583)-π/2
    2×0.845890227108156-π/2
    1.69178045421631-1.57079632675     		φ = 0.12098413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12098413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.931880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35721 KachelY 31503 0.28311533 0.12098413 16.221314 6.931880
    Oben rechts KachelX + 1 35722 KachelY 31503 0.28321120 0.12098413 16.226806 6.931880
    Unten links KachelX 35721 KachelY + 1 31504 0.28311533 0.12088895 16.221314 6.926427
    Unten rechts KachelX + 1 35722 KachelY + 1 31504 0.28321120 0.12088895 16.226806 6.926427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12098413-0.12088895) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dl = 606.391780000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12098413-0.12088895) × R
    9.51800000000003e-05 × 6371000     		dr = 606.391780000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.12098413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992690342724895 × 6371000     		do = 606.323120733461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.12088895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992701825426611 × 6371000     		du = 606.330134227235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12098413)-sin(0.12088895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992690342724895-0.992701825426611)×R²
    abs(0.28321120-0.28311533)×1.14827017153596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14827017153596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14827017153596e-05×40589641000000     		ar = 367671.48317675m²