Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35721 / 31328
↖ ↑ ↗
← N  7.885147°
E 16.221314°		 ← 605.01 m → N  7.885147°
E 16.226806°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
N  7.879706°
E 16.221314°		 ← 605.02 m →
366 068 m²		 N  7.879706°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545066833496094 y=0.478034973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545066833496094 × 216)
    floor (0.545066833496094 × 65536)
    floor (35721.5)     		tx = 35721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478034973144531 × 216)
    floor (0.478034973144531 × 65536)
    floor (31328.5)     		ty = 31328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35721 / 31328 ti = "16/35721/31328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35721/31328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35721 ÷ 216
    35721 ÷ 65536     		x = 0.545059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31328 ÷ 216
    31328 ÷ 65536     		y = 0.47802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545059204101562 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47802734375 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28311533} λ = 0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138058270905762))-π/2
    2×atan(1.1480424457983)-π/2
    2×0.854209054445714-π/2
    1.70841810889143-1.57079632675     		φ = 0.13762178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13762178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.885147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35721 KachelY 31328 0.28311533 0.13762178 16.221314 7.885147
    Oben rechts KachelX + 1 35722 KachelY 31328 0.28321120 0.13762178 16.226806 7.885147
    Unten links KachelX 35721 KachelY + 1 31329 0.28311533 0.13752681 16.221314 7.879706
    Unten rechts KachelX + 1 35722 KachelY + 1 31329 0.28321120 0.13752681 16.226806 7.879706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13762178-0.13752681) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13762178-0.13752681) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.13762178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990545059830871 × 6371000     		do = 605.012808178601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.13752681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990558084086428 × 6371000     		du = 605.020763234608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13762178)-sin(0.13752681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990545059830871-0.990558084086428)×R²
    abs(0.28321120-0.28311533)×1.30242555570481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30242555570481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30242555570481e-05×40589641000000     		ar = 366067.747881819m²