Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35721 / 31310
↖ ↑ ↗
← N  7.983078°
E 16.221314°		 ← 604.87 m → N  7.983078°
E 16.226806°		 →
↑
604.86 m
↓
↑
604.86 m
↓
N  7.977638°
E 16.221314°		 ← 604.88 m →
365 865 m²		 N  7.977638°
E 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545066833496094 y=0.477760314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545066833496094 × 216)
    floor (0.545066833496094 × 65536)
    floor (35721.5)     		tx = 35721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477760314941406 × 216)
    floor (0.477760314941406 × 65536)
    floor (31310.5)     		ty = 31310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35721 / 31310 ti = "16/35721/31310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35721/31310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35721 ÷ 216
    35721 ÷ 65536     		x = 0.545059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31310 ÷ 216
    31310 ÷ 65536     		y = 0.477752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545059204101562 × 2 - 1) × π
    0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    0.04449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.139783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28311533} λ = 0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139783999292084))-π/2
    2×atan(1.15002536573421)-π/2
    2×0.855063658725852-π/2
    1.7101273174517-1.57079632675     		φ = 0.13933099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13933099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.983078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35721 KachelY 31310 0.28311533 0.13933099 16.221314 7.983078
    Oben rechts KachelX + 1 35722 KachelY 31310 0.28321120 0.13933099 16.226806 7.983078
    Unten links KachelX 35721 KachelY + 1 31311 0.28311533 0.13923605 16.221314 7.977638
    Unten rechts KachelX + 1 35722 KachelY + 1 31311 0.28321120 0.13923605 16.226806 7.977638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13933099-0.13923605) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dl = 604.862739999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13933099-0.13923605) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dr = 604.862739999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.13933099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990309130347154 × 6371000     		do = 604.868705335364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28311533-0.28321120) × cos(0.13923605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990322311209981 × 6371000     		du = 604.876756045177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13933099)-sin(0.13923605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990309130347154-0.990322311209981)×R²
    abs(0.28321120-0.28311533)×1.31808628269781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31808628269781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31808628269781e-05×40589641000000     		ar = 365864.977511412m²