Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35720 / 31528
↖ ↑ ↗
← N  6.795535°
E 16.215821°		 ← 606.50 m → N  6.795535°
E 16.221314°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
N  6.790080°
E 16.215821°		 ← 606.50 m →
367 854 m²		 N  6.790080°
E 16.221314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545051574707031 y=0.481086730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545051574707031 × 216)
    floor (0.545051574707031 × 65536)
    floor (35720.5)     		tx = 35720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481086730957031 × 216)
    floor (0.481086730957031 × 65536)
    floor (31528.5)     		ty = 31528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35720 / 31528 ti = "16/35720/31528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35720/31528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35720 ÷ 216
    35720 ÷ 65536     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31528 ÷ 216
    31528 ÷ 65536     		y = 0.4810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118883511057739))-π/2
    2×atan(1.12623871628992)-π/2
    2×0.844700393712463-π/2
    1.68940078742493-1.57079632675     		φ = 0.11860446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11860446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.795535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35720 KachelY 31528 0.28301946 0.11860446 16.215821 6.795535
    Oben rechts KachelX + 1 35721 KachelY 31528 0.28311533 0.11860446 16.221314 6.795535
    Unten links KachelX 35720 KachelY + 1 31529 0.28301946 0.11850926 16.215821 6.790080
    Unten rechts KachelX + 1 35721 KachelY + 1 31529 0.28311533 0.11850926 16.221314 6.790080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11860446-0.11850926) × R
    9.51999999999897e-05 × 6371000     		dl = 606.519199999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11860446-0.11850926) × R
    9.51999999999897e-05 × 6371000     		dr = 606.519199999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28311533) × cos(0.11860446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992974732210316 × 6371000     		do = 606.496822353073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28311533) × cos(0.11850926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992985992401697 × 6371000     		du = 606.503699940256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11860446)-sin(0.11850926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992974732210316-0.992985992401697)×R²
    abs(0.28311533-0.28301946)×1.12601913807575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12601913807575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12601913807575e-05×40589641000000     		ar = 367854.053468224m²