Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35720 / 31502
↖ ↑ ↗
← N  6.937333°
E 16.215821°		 ← 606.32 m → N  6.937333°
E 16.221314°		 →
↑
606.33 m
↓
↑
606.33 m
↓
N  6.931880°
E 16.215821°		 ← 606.32 m →
367 629 m²		 N  6.931880°
E 16.221314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545051574707031 y=0.480690002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545051574707031 × 216)
    floor (0.545051574707031 × 65536)
    floor (35720.5)     		tx = 35720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480690002441406 × 216)
    floor (0.480690002441406 × 65536)
    floor (31502.5)     		ty = 31502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35720 / 31502 ti = "16/35720/31502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35720/31502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35720 ÷ 216
    35720 ÷ 65536     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31502 ÷ 216
    31502 ÷ 65536     		y = 0.480682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480682373046875 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.121376229837982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121376229837982))-π/2
    2×atan(1.12904961462309)-π/2
    2×0.845937813330103-π/2
    1.69187562666021-1.57079632675     		φ = 0.12107930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12107930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.937333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35720 KachelY 31502 0.28301946 0.12107930 16.215821 6.937333
    Oben rechts KachelX + 1 35721 KachelY 31502 0.28311533 0.12107930 16.221314 6.937333
    Unten links KachelX 35720 KachelY + 1 31503 0.28301946 0.12098413 16.215821 6.931880
    Unten rechts KachelX + 1 35721 KachelY + 1 31503 0.28311533 0.12098413 16.221314 6.931880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12107930-0.12098413) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dl = 606.328070000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12107930-0.12098413) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dr = 606.328070000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28311533) × cos(0.12107930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992678852238004 × 6371000     		do = 606.316102484597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28311533) × cos(0.12098413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992690342724895 × 6371000     		du = 606.323120733461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12107930)-sin(0.12098413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992678852238004-0.992690342724895)×R²
    abs(0.28311533-0.28301946)×1.14904868910859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14904868910859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14904868910859e-05×40589641000000     		ar = 367628.600187535m²