Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3572 / 1813
↖ ↑ ↗
← N 70.303933°
W 23.027344°		 ← 1 646.90 m → N 70.303933°
W 22.983399°		 →
↑
1 647.54 m
↓
↑
1 647.54 m
↓
N 70.289116°
W 23.027344°		 ← 1 648.09 m →
2 714 311 m²		 N 70.289116°
W 22.983399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43609619140625 y=0.22137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43609619140625 × 213)
    floor (0.43609619140625 × 8192)
    floor (3572.5)     		tx = 3572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22137451171875 × 213)
    floor (0.22137451171875 × 8192)
    floor (1813.5)     		ty = 1813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3572 / 1813 ti = "13/3572/1813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3572/1813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3572 ÷ 213
    3572 ÷ 8192     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1813 ÷ 213
    1813 ÷ 8192     		y = 0.2213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2213134765625 × 2 - 1) × π
    0.557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75103906932141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75103906932141))-π/2
    2×atan(5.76058521470123)-π/2
    2×1.39891571656648-π/2
    2.79783143313296-1.57079632675     		φ = 1.22703511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22703511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.303933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3572 KachelY 1813 -0.40190297 1.22703511 -23.027344 70.303933
    Oben rechts KachelX + 1 3573 KachelY 1813 -0.40113598 1.22703511 -22.983399 70.303933
    Unten links KachelX 3572 KachelY + 1 1814 -0.40190297 1.22677651 -23.027344 70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 3573 KachelY + 1 1814 -0.40113598 1.22677651 -22.983399 70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22703511-1.22677651) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dl = 1647.54059999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22703511-1.22677651) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dr = 1647.54059999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40113598) × cos(1.22703511) × R
    0.000766990000000023 × 0.337030629584991 × 6371000     		do = 1646.89790999158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40113598) × cos(1.22677651) × R
    0.000766990000000023 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 1648.08757073395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22703511)-sin(1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337030629584991-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.40113598--0.40190297)×0.00024345899436784×R²
    0.000766990000000023×0.00024345899436784×6371000²
    0.000766990000000023×0.00024345899436784×40589641000000     		ar = 2714311.19307805m²