Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35719 / 31496
↖ ↑ ↗
← N  6.970049°
E 16.210327°		 ← 606.34 m → N  6.970049°
E 16.215821°		 →
↑
606.26 m
↓
↑
606.26 m
↓
N  6.964597°
E 16.210327°		 ← 606.34 m →
367 603 m²		 N  6.964597°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545036315917969 y=0.480598449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545036315917969 × 216)
    floor (0.545036315917969 × 65536)
    floor (35719.5)     		tx = 35719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480598449707031 × 216)
    floor (0.480598449707031 × 65536)
    floor (31496.5)     		ty = 31496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35719 / 31496 ti = "16/35719/31496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35719/31496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35719 ÷ 216
    35719 ÷ 65536     		x = 0.545028686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31496 ÷ 216
    31496 ÷ 65536     		y = 0.4805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545028686523438 × 2 - 1) × π
    0.090057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28292358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.121951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28292358} λ = 0.28292358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121951472633423))-π/2
    2×atan(1.12969927911909)-π/2
    2×0.846223319074984-π/2
    1.69244663814997-1.57079632675     		φ = 0.12165031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28292358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12165031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.970049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35719 KachelY 31496 0.28292358 0.12165031 16.210327 6.970049
    Oben rechts KachelX + 1 35720 KachelY 31496 0.28301946 0.12165031 16.215821 6.970049
    Unten links KachelX 35719 KachelY + 1 31497 0.28292358 0.12155515 16.210327 6.964597
    Unten rechts KachelX + 1 35720 KachelY + 1 31497 0.28301946 0.12155515 16.215821 6.964597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12165031-0.12155515) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dl = 606.26435999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12165031-0.12155515) × R
    9.51599999999969e-05 × 6371000     		dr = 606.26435999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28292358-0.28301946) × cos(0.12165031) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.992609721722415 × 6371000     		do = 606.337117576479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28292358-0.28301946) × cos(0.12155515) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99262126494035 × 6371000     		du = 606.344168768238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12165031)-sin(0.12155515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992609721722415-0.99262126494035)×R²
    abs(0.28301946-0.28292358)×1.15432179353947e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.15432179353947e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.15432179353947e-05×40589641000000     		ar = 367602.722252291m²