Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35719 / 31312
↖ ↑ ↗
← N  7.972198°
E 16.210327°		 ← 604.95 m → N  7.972198°
E 16.215821°		 →
↑
604.93 m
↓
↑
604.93 m
↓
N  7.966758°
E 16.210327°		 ← 604.96 m →
365 951 m²		 N  7.966758°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545036315917969 y=0.477790832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545036315917969 × 216)
    floor (0.545036315917969 × 65536)
    floor (35719.5)     		tx = 35719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477790832519531 × 216)
    floor (0.477790832519531 × 65536)
    floor (31312.5)     		ty = 31312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35719 / 31312 ti = "16/35719/31312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35719/31312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35719 ÷ 216
    35719 ÷ 65536     		x = 0.545028686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31312 ÷ 216
    31312 ÷ 65536     		y = 0.477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545028686523438 × 2 - 1) × π
    0.090057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28292358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    0.04443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28292358} λ = 0.28292358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139592251693604))-π/2
    2×atan(1.14980487227236)-π/2
    2×0.854968712763481-π/2
    1.70993742552696-1.57079632675     		φ = 0.13914110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28292358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13914110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.972198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35719 KachelY 31312 0.28292358 0.13914110 16.210327 7.972198
    Oben rechts KachelX + 1 35720 KachelY 31312 0.28301946 0.13914110 16.215821 7.972198
    Unten links KachelX 35719 KachelY + 1 31313 0.28292358 0.13904615 16.210327 7.966758
    Unten rechts KachelX + 1 35720 KachelY + 1 31313 0.28301946 0.13904615 16.215821 7.966758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13914110-0.13904615) × R
    9.49499999999825e-05 × 6371000     		dl = 604.926449999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13914110-0.13904615) × R
    9.49499999999825e-05 × 6371000     		dr = 604.926449999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28292358-0.28301946) × cos(0.13914110) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990335484533361 × 6371000     		do = 604.947896423674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28292358-0.28301946) × cos(0.13904615) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990348648928369 × 6371000     		du = 604.955937913848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13914110)-sin(0.13904615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990335484533361-0.990348648928369)×R²
    abs(0.28301946-0.28292358)×1.31643950078697e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.31643950078697e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.31643950078697e-05×40589641000000     		ar = 365951.415948525m²