Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35717 / 31525
↖ ↑ ↗
← N  6.811899°
E 16.199341°		 ← 606.54 m → N  6.811899°
E 16.204834°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
N  6.806444°
E 16.199341°		 ← 606.55 m →
367 880 m²		 N  6.806444°
E 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545005798339844 y=0.481040954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545005798339844 × 216)
    floor (0.545005798339844 × 65536)
    floor (35717.5)     		tx = 35717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481040954589844 × 216)
    floor (0.481040954589844 × 65536)
    floor (31525.5)     		ty = 31525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35717 / 31525 ti = "16/35717/31525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35717/31525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35717 ÷ 216
    35717 ÷ 65536     		x = 0.544998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31525 ÷ 216
    31525 ÷ 65536     		y = 0.481033325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544998168945312 × 2 - 1) × π
    0.089996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28273183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481033325195312 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.11917113245546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28273183} λ = 0.28273183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11917113245546))-π/2
    2×atan(1.12656269323278)-π/2
    2×0.844843191670747-π/2
    1.68968638334149-1.57079632675     		φ = 0.11889006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28273183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.199341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11889006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.811899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35717 KachelY 31525 0.28273183 0.11889006 16.199341 6.811899
    Oben rechts KachelX + 1 35718 KachelY 31525 0.28282771 0.11889006 16.204834 6.811899
    Unten links KachelX 35717 KachelY + 1 31526 0.28273183 0.11879486 16.199341 6.806444
    Unten rechts KachelX + 1 35718 KachelY + 1 31526 0.28282771 0.11879486 16.204834 6.806444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11889006-0.11879486) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dl = 606.519200000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11889006-0.11879486) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dr = 606.519200000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28273183-0.28282771) × cos(0.11889006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.992940897640364 × 6371000     		do = 606.539416876098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28273183-0.28282771) × cos(0.11879486) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.992952184829547 × 6371000     		du = 606.546311672316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11889006)-sin(0.11879486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992940897640364-0.992952184829547)×R²
    abs(0.28282771-0.28273183)×1.12871891835287e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.12871891835287e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.12871891835287e-05×40589641000000     		ar = 367879.893083182m²