Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35716 / 31524
↖ ↑ ↗
← N  6.817353°
E 16.193848°		 ← 606.47 m → N  6.817353°
E 16.199341°		 →
↑
606.46 m
↓
↑
606.46 m
↓
N  6.811899°
E 16.193848°		 ← 606.48 m →
367 799 m²		 N  6.811899°
E 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544990539550781 y=0.481025695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544990539550781 × 216)
    floor (0.544990539550781 × 65536)
    floor (35716.5)     		tx = 35716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481025695800781 × 216)
    floor (0.481025695800781 × 65536)
    floor (31524.5)     		ty = 31524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35716 / 31524 ti = "16/35716/31524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35716/31524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35716 ÷ 216
    35716 ÷ 65536     		x = 0.54498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31524 ÷ 216
    31524 ÷ 65536     		y = 0.48101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54498291015625 × 2 - 1) × π
    0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48101806640625 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.1192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28263596} λ = 0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1192670062547))-π/2
    2×atan(1.12667070625599)-π/2
    2×0.844890789908199-π/2
    1.6897815798164-1.57079632675     		φ = 0.11898525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11898525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.817353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35716 KachelY 31524 0.28263596 0.11898525 16.193848 6.817353
    Oben rechts KachelX + 1 35717 KachelY 31524 0.28273183 0.11898525 16.199341 6.817353
    Unten links KachelX 35716 KachelY + 1 31525 0.28263596 0.11889006 16.193848 6.811899
    Unten rechts KachelX + 1 35717 KachelY + 1 31525 0.28273183 0.11889006 16.199341 6.811899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11898525-0.11889006) × R
    9.5189999999995e-05 × 6371000     		dl = 606.455489999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11898525-0.11889006) × R
    9.5189999999995e-05 × 6371000     		dr = 606.455489999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28263596-0.28273183) × cos(0.11898525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992929602639164 × 6371000     		do = 606.469257762948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28263596-0.28273183) × cos(0.11889006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992940897640364 × 6371000     		du = 606.476156611543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11898525)-sin(0.11889006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992929602639164-0.992940897640364)×R²
    abs(0.28273183-0.28263596)×1.12950011995627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12950011995627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12950011995627e-05×40589641000000     		ar = 367798.703086559m²