Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35716 / 31523
↖ ↑ ↗
← N  6.822807°
E 16.193848°		 ← 606.46 m → N  6.822807°
E 16.199341°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
N  6.817353°
E 16.193848°		 ← 606.47 m →
367 833 m²		 N  6.817353°
E 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544990539550781 y=0.481010437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544990539550781 × 216)
    floor (0.544990539550781 × 65536)
    floor (35716.5)     		tx = 35716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481010437011719 × 216)
    floor (0.481010437011719 × 65536)
    floor (31523.5)     		ty = 31523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35716 / 31523 ti = "16/35716/31523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35716/31523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35716 ÷ 216
    35716 ÷ 65536     		x = 0.54498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31523 ÷ 216
    31523 ÷ 65536     		y = 0.481002807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54498291015625 × 2 - 1) × π
    0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    0.037994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.11936288005394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28263596} λ = 0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11936288005394))-π/2
    2×atan(1.12677872963531)-π/2
    2×0.844938387603954-π/2
    1.68987677520791-1.57079632675     		φ = 0.11908045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11908045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.822807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35716 KachelY 31523 0.28263596 0.11908045 16.193848 6.822807
    Oben rechts KachelX + 1 35717 KachelY 31523 0.28273183 0.11908045 16.199341 6.822807
    Unten links KachelX 35716 KachelY + 1 31524 0.28263596 0.11898525 16.193848 6.817353
    Unten rechts KachelX + 1 35717 KachelY + 1 31524 0.28273183 0.11898525 16.199341 6.817353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11908045-0.11898525) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dl = 606.519200000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11908045-0.11898525) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dr = 606.519200000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28263596-0.28273183) × cos(0.11908045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992918297452902 × 6371000     		do = 606.462352693442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28263596-0.28273183) × cos(0.11898525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992929602639164 × 6371000     		du = 606.469257762948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11908045)-sin(0.11898525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992918297452902-0.992929602639164)×R²
    abs(0.28273183-0.28263596)×1.13051862620228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.13051862620228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.13051862620228e-05×40589641000000     		ar = 367833.155292146m²