Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35715 / 31501
↖ ↑ ↗
← N  6.942786°
E 16.188355°		 ← 606.31 m → N  6.942786°
E 16.193848°		 →
↑
606.33 m
↓
↑
606.33 m
↓
N  6.937333°
E 16.188355°		 ← 606.32 m →
367 624 m²		 N  6.937333°
E 16.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544975280761719 y=0.480674743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544975280761719 × 216)
    floor (0.544975280761719 × 65536)
    floor (35715.5)     		tx = 35715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480674743652344 × 216)
    floor (0.480674743652344 × 65536)
    floor (31501.5)     		ty = 31501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35715 / 31501 ti = "16/35715/31501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35715/31501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35715 ÷ 216
    35715 ÷ 65536     		x = 0.544967651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31501 ÷ 216
    31501 ÷ 65536     		y = 0.480667114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544967651367188 × 2 - 1) × π
    0.089935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28254009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480667114257812 × 2 - 1) × π
    0.038665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.121472103637222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28254009} λ = 0.28254009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121472103637222))-π/2
    2×atan(1.12915786608833)-π/2
    2×0.845985399001005-π/2
    1.69197079800201-1.57079632675     		φ = 0.12117447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28254009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.188355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12117447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.942786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35715 KachelY 31501 0.28254009 0.12117447 16.188355 6.942786
    Oben rechts KachelX + 1 35716 KachelY 31501 0.28263596 0.12117447 16.193848 6.942786
    Unten links KachelX 35715 KachelY + 1 31502 0.28254009 0.12107930 16.188355 6.937333
    Unten rechts KachelX + 1 35716 KachelY + 1 31502 0.28263596 0.12107930 16.193848 6.937333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12117447-0.12107930) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dl = 606.328070000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12117447-0.12107930) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dr = 606.328070000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28254009-0.28263596) × cos(0.12117447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992667352760094 × 6371000     		do = 606.309078744128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28254009-0.28263596) × cos(0.12107930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992678852238004 × 6371000     		du = 606.316102484597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12117447)-sin(0.12107930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992667352760094-0.992678852238004)×R²
    abs(0.28263596-0.28254009)×1.14994779100153e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.14994779100153e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14994779100153e-05×40589641000000     		ar = 367624.343161431m²