Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35713 / 31497
↖ ↑ ↗
← N  6.964597°
E 16.177368°		 ← 606.28 m → N  6.964597°
E 16.182861°		 →
↑
606.33 m
↓
↑
606.33 m
↓
N  6.959144°
E 16.177368°		 ← 606.29 m →
367 607 m²		 N  6.959144°
E 16.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544944763183594 y=0.480613708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544944763183594 × 216)
    floor (0.544944763183594 × 65536)
    floor (35713.5)     		tx = 35713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480613708496094 × 216)
    floor (0.480613708496094 × 65536)
    floor (31497.5)     		ty = 31497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35713 / 31497 ti = "16/35713/31497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35713/31497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35713 ÷ 216
    35713 ÷ 65536     		x = 0.544937133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31497 ÷ 216
    31497 ÷ 65536     		y = 0.480606079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544937133789062 × 2 - 1) × π
    0.089874267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28234834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480606079101562 × 2 - 1) × π
    0.038787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.121855598834183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28234834} λ = 0.28234834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121855598834183))-π/2
    2×atan(1.12959097574901)-π/2
    2×0.846175736165675-π/2
    1.69235147233135-1.57079632675     		φ = 0.12155515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28234834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.177368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12155515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.964597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35713 KachelY 31497 0.28234834 0.12155515 16.177368 6.964597
    Oben rechts KachelX + 1 35714 KachelY 31497 0.28244421 0.12155515 16.182861 6.964597
    Unten links KachelX 35713 KachelY + 1 31498 0.28234834 0.12145998 16.177368 6.959144
    Unten rechts KachelX + 1 35714 KachelY + 1 31498 0.28244421 0.12145998 16.182861 6.959144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12155515-0.12145998) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dl = 606.328070000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12155515-0.12145998) × R
    9.51700000000055e-05 × 6371000     		dr = 606.328070000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28234834-0.28244421) × cos(0.12155515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99262126494035 × 6371000     		do = 606.280928867482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28234834-0.28244421) × cos(0.12145998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992632800381293 × 6371000     		du = 606.287974573732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12155515)-sin(0.12145998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99262126494035-0.992632800381293)×R²
    abs(0.28244421-0.28234834)×1.15354409429003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.15354409429003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.15354409429003e-05×40589641000000     		ar = 367607.281760258m²