Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35710 / 31317
↖ ↑ ↗
← N  7.944997°
E 16.160889°		 ← 604.92 m → N  7.944997°
E 16.166382°		 →
↑
604.99 m
↓
↑
604.99 m
↓
N  7.939556°
E 16.160889°		 ← 604.93 m →
365 976 m²		 N  7.939556°
E 16.166382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544898986816406 y=0.477867126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544898986816406 × 216)
    floor (0.544898986816406 × 65536)
    floor (35710.5)     		tx = 35710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477867126464844 × 216)
    floor (0.477867126464844 × 65536)
    floor (31317.5)     		ty = 31317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35710 / 31317 ti = "16/35710/31317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35710/31317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35710 ÷ 216
    35710 ÷ 65536     		x = 0.544891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31317 ÷ 216
    31317 ÷ 65536     		y = 0.477859497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544891357421875 × 2 - 1) × π
    0.08978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28206072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477859497070312 × 2 - 1) × π
    0.044281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139112882697403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28206072} λ = 0.28206072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139112882697403))-π/2
    2×atan(1.1492538235533)-π/2
    2×0.854731336817922-π/2
    1.70946267363584-1.57079632675     		φ = 0.13866635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28206072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13866635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.944997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35710 KachelY 31317 0.28206072 0.13866635 16.160889 7.944997
    Oben rechts KachelX + 1 35711 KachelY 31317 0.28215659 0.13866635 16.166382 7.944997
    Unten links KachelX 35710 KachelY + 1 31318 0.28206072 0.13857139 16.160889 7.939556
    Unten rechts KachelX + 1 35711 KachelY + 1 31318 0.28215659 0.13857139 16.166382 7.939556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13866635-0.13857139) × R
    9.4960000000005e-05 × 6371000     		dl = 604.990160000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13866635-0.13857139) × R
    9.4960000000005e-05 × 6371000     		dr = 604.990160000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28206072-0.28215659) × cos(0.13866635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990401217222308 × 6371000     		do = 604.924950872486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28206072-0.28215659) × cos(0.13857139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990414338354961 × 6371000     		du = 604.932965099839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13866635)-sin(0.13857139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990401217222308-0.990414338354961)×R²
    abs(0.28215659-0.28206072)×1.31211326525049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31211326525049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31211326525049e-05×40589641000000     		ar = 365976.067355713m²