Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3571 / 566
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E133.857422°		 ← 1 991.45 m → N 78.242436°
E133.945312°		 →
↑
1 992.91 m
↓
↑
1 992.91 m
↓
N 78.224513°
E133.857422°		 ← 1 994.44 m →
3 971 770 m²		 N 78.224513°
E133.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8719482421875 y=0.1383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8719482421875 × 212)
    floor (0.8719482421875 × 4096)
    floor (3571.5)     		tx = 3571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1383056640625 × 212)
    floor (0.1383056640625 × 4096)
    floor (566.5)     		ty = 566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3571 / 566 ti = "12/3571/566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3571/566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3571 ÷ 212
    3571 ÷ 4096     		x = 0.871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 566 ÷ 212
    566 ÷ 4096     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871826171875 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33625274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33625274} λ = 2.33625274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33625274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3571 KachelY 566 2.33625274 1.36558812 133.857422 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 3572 KachelY 566 2.33778672 1.36558812 133.945312 78.242436
    Unten links KachelX 3571 KachelY + 1 567 2.33625274 1.36527531 133.857422 78.224513
    Unten rechts KachelX + 1 3572 KachelY + 1 567 2.33778672 1.36527531 133.945312 78.224513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36527531) × R
    0.000312810000000052 × 6371000     		dl = 1992.91251000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36527531) × R
    0.000312810000000052 × 6371000     		dr = 1992.91251000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33625274-2.33778672) × cos(1.36558812) × R
    0.00153398000000005 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 1991.45127419954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33625274-2.33778672) × cos(1.36527531) × R
    0.00153398000000005 × 0.204077239467845 × 6371000     		du = 1994.44412260275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36527531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.204077239467845)×R²
    abs(2.33778672-2.33625274)×0.000306236827269463×R²
    0.00153398000000005×0.000306236827269463×6371000²
    0.00153398000000005×0.000306236827269463×40589641000000     		ar = 3971770.43230507m²