Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3571 / 1902
↖ ↑ ↗
← N 68.942607°
W 23.071289°		 ← 1 755.73 m → N 68.942607°
W 23.027344°		 →
↑
1 756.36 m
↓
↑
1 756.36 m
↓
N 68.926811°
W 23.071289°		 ← 1 756.99 m →
3 084 796 m²		 N 68.926811°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43597412109375 y=0.23223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43597412109375 × 213)
    floor (0.43597412109375 × 8192)
    floor (3571.5)     		tx = 3571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23223876953125 × 213)
    floor (0.23223876953125 × 8192)
    floor (1902.5)     		ty = 1902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3571 / 1902 ti = "13/3571/1902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3571/1902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3571 ÷ 213
    3571 ÷ 8192     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1902 ÷ 213
    1902 ÷ 8192     		y = 0.232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232177734375 × 2 - 1) × π
    0.53564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68277692426245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68277692426245))-π/2
    2×atan(5.38047642057075)-π/2
    2×1.38703590533086-π/2
    2.77407181066172-1.57079632675     		φ = 1.20327548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20327548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.942607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3571 KachelY 1902 -0.40266996 1.20327548 -23.071289 68.942607
    Oben rechts KachelX + 1 3572 KachelY 1902 -0.40190297 1.20327548 -23.027344 68.942607
    Unten links KachelX 3571 KachelY + 1 1903 -0.40266996 1.20299980 -23.071289 68.926811
    Unten rechts KachelX + 1 3572 KachelY + 1 1903 -0.40190297 1.20299980 -23.027344 68.926811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20327548-1.20299980) × R
    0.000275680000000111 × 6371000     		dl = 1756.35728000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20327548-1.20299980) × R
    0.000275680000000111 × 6371000     		dr = 1756.35728000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40190297) × cos(1.20327548) × R
    0.000766989999999967 × 0.359302940725674 × 6371000     		do = 1755.7314089332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40190297) × cos(1.20299980) × R
    0.000766989999999967 × 0.359560197428659 × 6371000     		du = 1756.98849208614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20327548)-sin(1.20299980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359302940725674-0.359560197428659)×R²
    abs(-0.40190297--0.40266996)×0.000257256702985431×R²
    0.000766989999999967×0.000257256702985431×6371000²
    0.000766989999999967×0.000257256702985431×40589641000000     		ar = 3084795.60491611m²