Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35708 / 31332
↖ ↑ ↗
← N  7.863382°
E 16.149902°		 ← 605.04 m → N  7.863382°
E 16.155395°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
N  7.857940°
E 16.149902°		 ← 605.05 m →
366 087 m²		 N  7.857940°
E 16.155395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544868469238281 y=0.478096008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544868469238281 × 216)
    floor (0.544868469238281 × 65536)
    floor (35708.5)     		tx = 35708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478096008300781 × 216)
    floor (0.478096008300781 × 65536)
    floor (31332.5)     		ty = 31332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35708 / 31332 ti = "16/35708/31332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35708/31332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35708 ÷ 216
    35708 ÷ 65536     		x = 0.54486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31332 ÷ 216
    31332 ÷ 65536     		y = 0.47808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54486083984375 × 2 - 1) × π
    0.0897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28186897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    0.0438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137674775708801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28186897} λ = 0.28186897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137674775708801))-π/2
    2×atan(1.14760226144412)-π/2
    2×0.85401911481753-π/2
    1.70803822963506-1.57079632675     		φ = 0.13724190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28186897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.149902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13724190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.863382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35708 KachelY 31332 0.28186897 0.13724190 16.149902 7.863382
    Oben rechts KachelX + 1 35709 KachelY 31332 0.28196484 0.13724190 16.155395 7.863382
    Unten links KachelX 35708 KachelY + 1 31333 0.28186897 0.13714693 16.149902 7.857940
    Unten rechts KachelX + 1 35709 KachelY + 1 31333 0.28196484 0.13714693 16.155395 7.857940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13724190-0.13714693) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13724190-0.13714693) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28186897-0.28196484) × cos(0.13724190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990597103247781 × 6371000     		do = 605.044595661159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28186897-0.28196484) × cos(0.13714693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		du = 605.052528889279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13724190)-sin(0.13714693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990597103247781-0.990610091766068)×R²
    abs(0.28196484-0.28186897)×1.2988518287349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2988518287349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2988518287349e-05×40589641000000     		ar = 366086.974417664m²