Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35703 / 38023
↖ ↑ ↗
← S 27.717573°
E 16.122436°		 ← 540.70 m → S 27.717573°
E 16.127929°		 →
↑
540.71 m
↓
↑
540.71 m
↓
S 27.722436°
E 16.122436°		 ← 540.68 m →
292 354 m²		 S 27.722436°
E 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544792175292969 y=0.580192565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544792175292969 × 216)
    floor (0.544792175292969 × 65536)
    floor (35703.5)     		tx = 35703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580192565917969 × 216)
    floor (0.580192565917969 × 65536)
    floor (38023.5)     		ty = 38023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35703 / 38023 ti = "16/35703/38023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35703/38023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35703 ÷ 216
    35703 ÷ 65536     		x = 0.544784545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38023 ÷ 216
    38023 ÷ 65536     		y = 0.580184936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544784545898438 × 2 - 1) × π
    0.089569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28138960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580184936523438 × 2 - 1) × π
    -0.160369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.50381681500679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28138960} λ = 0.28138960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50381681500679))-π/2
    2×atan(0.604220056765651)-π/2
    2×0.543516706916928-π/2
    1.08703341383386-1.57079632675     		φ = -0.48376291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28138960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.122436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48376291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.717573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35703 KachelY 38023 0.28138960 -0.48376291 16.122436 -27.717573
    Oben rechts KachelX + 1 35704 KachelY 38023 0.28148547 -0.48376291 16.127929 -27.717573
    Unten links KachelX 35703 KachelY + 1 38024 0.28138960 -0.48384778 16.122436 -27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 35704 KachelY + 1 38024 0.28148547 -0.48384778 16.127929 -27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48376291--0.48384778) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dl = 540.706770000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48376291--0.48384778) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dr = 540.706770000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28138960-0.28148547) × cos(-0.48376291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885251013711313 × 6371000     		do = 540.70049255496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28138960-0.28148547) × cos(-0.48384778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 540.676380255457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48376291)-sin(-0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885251013711313-0.885211536333592)×R²
    abs(0.28148547-0.28138960)×3.9477377720476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9477377720476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9477377720476e-05×40589641000000     		ar = 292353.898200523m²