Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35700 / 31440
↖ ↑ ↗
← N  7.275293°
E 16.105957°		 ← 605.87 m → N  7.275293°
E 16.111450°		 →
↑
605.95 m
↓
↑
605.95 m
↓
N  7.269843°
E 16.105957°		 ← 605.88 m →
367 127 m²		 N  7.269843°
E 16.111450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544746398925781 y=0.479743957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544746398925781 × 216)
    floor (0.544746398925781 × 65536)
    floor (35700.5)     		tx = 35700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479743957519531 × 216)
    floor (0.479743957519531 × 65536)
    floor (31440.5)     		ty = 31440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35700 / 31440 ti = "16/35700/31440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35700/31440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35700 ÷ 216
    35700 ÷ 65536     		x = 0.54473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31440 ÷ 216
    31440 ÷ 65536     		y = 0.479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54473876953125 × 2 - 1) × π
    0.0894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28110198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.127320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28110198} λ = 0.28110198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127320405390869))-π/2
    2×atan(1.13578086980183)-π/2
    2×0.848887066053046-π/2
    1.69777413210609-1.57079632675     		φ = 0.12697781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28110198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12697781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.275293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35700 KachelY 31440 0.28110198 0.12697781 16.105957 7.275293
    Oben rechts KachelX + 1 35701 KachelY 31440 0.28119785 0.12697781 16.111450 7.275293
    Unten links KachelX 35700 KachelY + 1 31441 0.28110198 0.12688270 16.105957 7.269843
    Unten rechts KachelX + 1 35701 KachelY + 1 31441 0.28119785 0.12688270 16.111450 7.269843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12697781-0.12688270) × R
    9.51100000000094e-05 × 6371000     		dl = 605.94581000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12697781-0.12688270) × R
    9.51100000000094e-05 × 6371000     		dr = 605.94581000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28110198-0.28119785) × cos(0.12697781) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.991949143850407 × 6371000     		do = 605.870405526137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28110198-0.28119785) × cos(0.12688270) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.991961183796241 × 6371000     		du = 605.877759377804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12697781)-sin(0.12688270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991949143850407-0.991961183796241)×R²
    abs(0.28119785-0.28110198)×1.20399458338749e-05×R²
    9.58700000000534e-05×1.20399458338749e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×1.20399458338749e-05×40589641000000     		ar = 367126.861926156m²