Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35698 / 31313
↖ ↑ ↗
← N  7.966758°
E 16.094971°		 ← 604.96 m → N  7.966758°
E 16.100464°		 →
↑
604.93 m
↓
↑
604.93 m
↓
N  7.961317°
E 16.094971°		 ← 604.96 m →
365 956 m²		 N  7.961317°
E 16.100464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544715881347656 y=0.477806091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544715881347656 × 216)
    floor (0.544715881347656 × 65536)
    floor (35698.5)     		tx = 35698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477806091308594 × 216)
    floor (0.477806091308594 × 65536)
    floor (31313.5)     		ty = 31313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35698 / 31313 ti = "16/35698/31313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35698/31313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35698 ÷ 216
    35698 ÷ 65536     		x = 0.544708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31313 ÷ 216
    31313 ÷ 65536     		y = 0.477798461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544708251953125 × 2 - 1) × π
    0.08941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28091023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477798461914062 × 2 - 1) × π
    0.044403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.139496377894363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28091023} λ = 0.28091023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139496377894363))-π/2
    2×atan(1.14969464139508)-π/2
    2×0.854921238835203-π/2
    1.70984247767041-1.57079632675     		φ = 0.13904615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28091023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.094971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13904615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.966758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35698 KachelY 31313 0.28091023 0.13904615 16.094971 7.966758
    Oben rechts KachelX + 1 35699 KachelY 31313 0.28100611 0.13904615 16.100464 7.966758
    Unten links KachelX 35698 KachelY + 1 31314 0.28091023 0.13895120 16.094971 7.961317
    Unten rechts KachelX + 1 35699 KachelY + 1 31314 0.28100611 0.13895120 16.100464 7.961317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13904615-0.13895120) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dl = 604.926450000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13904615-0.13895120) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dr = 604.926450000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28091023-0.28100611) × cos(0.13904615) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990348648928369 × 6371000     		do = 604.955937913848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28091023-0.28100611) × cos(0.13895120) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990361804394886 × 6371000     		du = 604.96397395004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13904615)-sin(0.13895120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990348648928369-0.990361804394886)×R²
    abs(0.28100611-0.28091023)×1.31554665172562e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.31554665172562e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.31554665172562e-05×40589641000000     		ar = 365956.278808975m²