Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35697 / 31314
↖ ↑ ↗
← N  7.961317°
E 16.089478°		 ← 604.90 m → N  7.961317°
E 16.094971°		 →
↑
604.93 m
↓
↑
604.93 m
↓
N  7.955877°
E 16.089478°		 ← 604.91 m →
365 923 m²		 N  7.955877°
E 16.094971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544700622558594 y=0.477821350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544700622558594 × 216)
    floor (0.544700622558594 × 65536)
    floor (35697.5)     		tx = 35697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477821350097656 × 216)
    floor (0.477821350097656 × 65536)
    floor (31314.5)     		ty = 31314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35697 / 31314 ti = "16/35697/31314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35697/31314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35697 ÷ 216
    35697 ÷ 65536     		x = 0.544692993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31314 ÷ 216
    31314 ÷ 65536     		y = 0.477813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544692993164062 × 2 - 1) × π
    0.089385986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28081436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477813720703125 × 2 - 1) × π
    0.04437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139400504095123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28081436} λ = 0.28081436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139400504095123))-π/2
    2×atan(1.14958442108555)-π/2
    2×0.854873764276088-π/2
    1.70974752855218-1.57079632675     		φ = 0.13895120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28081436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.089478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13895120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.961317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35697 KachelY 31314 0.28081436 0.13895120 16.089478 7.961317
    Oben rechts KachelX + 1 35698 KachelY 31314 0.28091023 0.13895120 16.094971 7.961317
    Unten links KachelX 35697 KachelY + 1 31315 0.28081436 0.13885625 16.089478 7.955877
    Unten rechts KachelX + 1 35698 KachelY + 1 31315 0.28091023 0.13885625 16.094971 7.955877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13895120-0.13885625) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dl = 604.926450000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13895120-0.13885625) × R
    9.49500000000103e-05 × 6371000     		dr = 604.926450000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28081436-0.28091023) × cos(0.13895120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990361804394886 × 6371000     		do = 604.900877999516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28081436-0.28091023) × cos(0.13885625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990374950932794 × 6371000     		du = 604.908907744088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13895120)-sin(0.13885625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990361804394886-0.990374950932794)×R²
    abs(0.28091023-0.28081436)×1.31465379078488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.31465379078488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.31465379078488e-05×40589641000000     		ar = 365922.969707529m²