Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3569 / 4612
↖ ↑ ↗
← N 78.052896°
W140.789795°		 ← 252.88 m → N 78.052896°
W140.778809°		 →
↑
252.93 m
↓
↑
252.93 m
↓
N 78.050621°
W140.789795°		 ← 252.92 m →
63 966 m²		 N 78.050621°
W140.778809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108932495117188 y=0.140762329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108932495117188 × 215)
    floor (0.108932495117188 × 32768)
    floor (3569.5)     		tx = 3569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140762329101562 × 215)
    floor (0.140762329101562 × 32768)
    floor (4612.5)     		ty = 4612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3569 / 4612 ti = "15/3569/4612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3569/4612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3569 ÷ 215
    3569 ÷ 32768     		x = 0.108917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4612 ÷ 215
    4612 ÷ 32768     		y = 0.1407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.78216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45724547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    0.718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2572527293092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45724547} λ = -2.45724547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2572527293092))-π/2
    2×atan(9.55679795783916)-π/2
    2×1.46653817235607-π/2
    2.93307634471214-1.57079632675     		φ = 1.36228002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45724547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36228002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.052896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3569 KachelY 4612 -2.45724547 1.36228002 -140.789795 78.052896
    Oben rechts KachelX + 1 3570 KachelY 4612 -2.45705373 1.36228002 -140.778809 78.052896
    Unten links KachelX 3569 KachelY + 1 4613 -2.45724547 1.36224032 -140.789795 78.050621
    Unten rechts KachelX + 1 3570 KachelY + 1 4613 -2.45705373 1.36224032 -140.778809 78.050621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36228002-1.36224032) × R
    3.97000000000869e-05 × 6371000     		dl = 252.928700000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36228002-1.36224032) × R
    3.97000000000869e-05 × 6371000     		dr = 252.928700000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45724547--2.45705373) × cos(1.36228002) × R
    0.000191739999999996 × 0.207008573109845 × 6371000     		do = 252.876609481283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45724547--2.45705373) × cos(1.36224032) × R
    0.000191739999999996 × 0.20704741301011 × 6371000     		du = 252.924055353423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36228002)-sin(1.36224032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207008573109845-0.20704741301011)×R²
    abs(-2.45705373--2.45724547)×3.88399002654582e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88399002654582e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88399002654582e-05×40589641000000     		ar = 63965.7523160334m²