Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3569 / 2641
↖ ↑ ↗
← N 53.722717°
W 23.159180°		 ← 2 891.31 m → N 53.722717°
W 23.115235°		 →
↑
2 892.18 m
↓
↑
2 892.18 m
↓
N 53.696707°
W 23.159180°		 ← 2 893.09 m →
8 364 763 m²		 N 53.696707°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43572998046875 y=0.32244873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43572998046875 × 213)
    floor (0.43572998046875 × 8192)
    floor (3569.5)     		tx = 3569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32244873046875 × 213)
    floor (0.32244873046875 × 8192)
    floor (2641.5)     		ty = 2641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3569 / 2641 ti = "13/3569/2641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3569/2641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3569 ÷ 213
    3569 ÷ 8192     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2641 ÷ 213
    2641 ÷ 8192     		y = 0.3223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3223876953125 × 2 - 1) × π
    0.355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11597102315491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11597102315491))-π/2
    2×atan(3.05253081866012)-π/2
    2×1.25421730793471-π/2
    2.50843461586941-1.57079632675     		φ = 0.93763829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93763829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.722717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3569 KachelY 2641 -0.40420394 0.93763829 -23.159180 53.722717
    Oben rechts KachelX + 1 3570 KachelY 2641 -0.40343695 0.93763829 -23.115235 53.722717
    Unten links KachelX 3569 KachelY + 1 2642 -0.40420394 0.93718433 -23.159180 53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 3570 KachelY + 1 2642 -0.40343695 0.93718433 -23.115235 53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93763829-0.93718433) × R
    0.000453959999999975 × 6371000     		dl = 2892.17915999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93763829-0.93718433) × R
    0.000453959999999975 × 6371000     		dr = 2892.17915999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40343695) × cos(0.93763829) × R
    0.000766989999999967 × 0.591693596477495 × 6371000     		do = 2891.30678892312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40343695) × cos(0.93718433) × R
    0.000766989999999967 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 2893.09478002017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93763829)-sin(0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591693596477495-0.592059501225734)×R²
    abs(-0.40343695--0.40420394)×0.000365904748239165×R²
    0.000766989999999967×0.000365904748239165×6371000²
    0.000766989999999967×0.000365904748239165×40589641000000     		ar = 8364762.97903586m²