Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35683 / 31198
↖ ↑ ↗
← N  8.591884°
E 16.012573°		 ← 604 m → N  8.591884°
E 16.018066°		 →
↑
603.97 m
↓
↑
603.97 m
↓
N  8.586453°
E 16.012573°		 ← 604 m →
364 799 m²		 N  8.586453°
E 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544486999511719 y=0.476051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544486999511719 × 216)
    floor (0.544486999511719 × 65536)
    floor (35683.5)     		tx = 35683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476051330566406 × 216)
    floor (0.476051330566406 × 65536)
    floor (31198.5)     		ty = 31198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35683 / 31198 ti = "16/35683/31198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35683/31198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35683 ÷ 216
    35683 ÷ 65536     		x = 0.544479370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31198 ÷ 216
    31198 ÷ 65536     		y = 0.476043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544479370117188 × 2 - 1) × π
    0.088958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27947212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476043701171875 × 2 - 1) × π
    0.04791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.150521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27947212} λ = 0.27947212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150521864806976))-π/2
    2×atan(1.16244072136727)-π/2
    2×0.860376499311289-π/2
    1.72075299862258-1.57079632675     		φ = 0.14995667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27947212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.012573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14995667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.591884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35683 KachelY 31198 0.27947212 0.14995667 16.012573 8.591884
    Oben rechts KachelX + 1 35684 KachelY 31198 0.27956800 0.14995667 16.018066 8.591884
    Unten links KachelX 35683 KachelY + 1 31199 0.27947212 0.14986187 16.012573 8.586453
    Unten rechts KachelX + 1 35684 KachelY + 1 31199 0.27956800 0.14986187 16.018066 8.586453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14995667-0.14986187) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dl = 603.970799999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14995667-0.14986187) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dr = 603.970799999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27947212-0.27956800) × cos(0.14995667) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988777552162117 × 6371000     		do = 603.99623112896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27947212-0.27956800) × cos(0.14986187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98879171039239 × 6371000     		du = 604.004879704876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14995667)-sin(0.14986187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988777552162117-0.98879171039239)×R²
    abs(0.27956800-0.27947212)×1.41582302731758e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.41582302731758e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.41582302731758e-05×40589641000000     		ar = 364798.698928778m²