Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35681 / 31437
↖ ↑ ↗
← N  7.291639°
E 16.001587°		 ← 605.85 m → N  7.291639°
E 16.007080°		 →
↑
605.88 m
↓
↑
605.88 m
↓
N  7.286190°
E 16.001587°		 ← 605.86 m →
367 075 m²		 N  7.286190°
E 16.007080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544456481933594 y=0.479698181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544456481933594 × 216)
    floor (0.544456481933594 × 65536)
    floor (35681.5)     		tx = 35681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479698181152344 × 216)
    floor (0.479698181152344 × 65536)
    floor (31437.5)     		ty = 31437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35681 / 31437 ti = "16/35681/31437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35681/31437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35681 ÷ 216
    35681 ÷ 65536     		x = 0.544448852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31437 ÷ 216
    31437 ÷ 65536     		y = 0.479690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544448852539062 × 2 - 1) × π
    0.088897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27928038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479690551757812 × 2 - 1) × π
    0.040618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.127608026788589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27928038} λ = 0.27928038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127608026788589))-π/2
    2×atan(1.13610759166695)-π/2
    2×0.849029716352882-π/2
    1.69805943270576-1.57079632675     		φ = 0.12726311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27928038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12726311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.291639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35681 KachelY 31437 0.27928038 0.12726311 16.001587 7.291639
    Oben rechts KachelX + 1 35682 KachelY 31437 0.27937625 0.12726311 16.007080 7.291639
    Unten links KachelX 35681 KachelY + 1 31438 0.27928038 0.12716801 16.001587 7.286190
    Unten rechts KachelX + 1 35682 KachelY + 1 31438 0.27937625 0.12716801 16.007080 7.286190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12726311-0.12716801) × R
    9.51000000000146e-05 × 6371000     		dl = 605.882100000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12726311-0.12716801) × R
    9.51000000000146e-05 × 6371000     		dr = 605.882100000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27928038-0.27937625) × cos(0.12726311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991912973982429 × 6371000     		do = 605.848313412783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27928038-0.27937625) × cos(0.12716801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991925039576105 × 6371000     		du = 605.855682929837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12726311)-sin(0.12716801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991912973982429-0.991925039576105)×R²
    abs(0.27937625-0.27928038)×1.20655936756142e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20655936756142e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20655936756142e-05×40589641000000     		ar = 367074.881218028m²