Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35680 / 31263
↖ ↑ ↗
← N  8.238674°
E 15.996094°		 ← 604.55 m → N  8.238674°
E 16.001587°		 →
↑
604.48 m
↓
↑
604.48 m
↓
N  8.233237°
E 15.996094°		 ← 604.56 m →
365 440 m²		 N  8.233237°
E 16.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544441223144531 y=0.477043151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544441223144531 × 216)
    floor (0.544441223144531 × 65536)
    floor (35680.5)     		tx = 35680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477043151855469 × 216)
    floor (0.477043151855469 × 65536)
    floor (31263.5)     		ty = 31263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35680 / 31263 ti = "16/35680/31263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35680/31263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35680 ÷ 216
    35680 ÷ 65536     		x = 0.54443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31263 ÷ 216
    31263 ÷ 65536     		y = 0.477035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54443359375 × 2 - 1) × π
    0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477035522460938 × 2 - 1) × π
    0.045928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.144290067856369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27918450} λ = 0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.144290067856369))-π/2
    2×atan(1.15521915187293)-π/2
    2×0.857294153743833-π/2
    1.71458830748767-1.57079632675     		φ = 0.14379198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14379198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.238674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35680 KachelY 31263 0.27918450 0.14379198 15.996094 8.238674
    Oben rechts KachelX + 1 35681 KachelY 31263 0.27928038 0.14379198 16.001587 8.238674
    Unten links KachelX 35680 KachelY + 1 31264 0.27918450 0.14369710 15.996094 8.233237
    Unten rechts KachelX + 1 35681 KachelY + 1 31264 0.27928038 0.14369710 16.001587 8.233237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14379198-0.14369710) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dl = 604.480480000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14379198-0.14369710) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dr = 604.480480000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27918450-0.27928038) × cos(0.14379198) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989679733575888 × 6371000     		do = 604.54732998079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27918450-0.27928038) × cos(0.14369710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989693325138832 × 6371000     		du = 604.55563240713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14379198)-sin(0.14369710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989679733575888-0.989693325138832)×R²
    abs(0.27928038-0.27918450)×1.35915629437822e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.35915629437822e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.35915629437822e-05×40589641000000     		ar = 365439.56981105m²