Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35679 / 31198
↖ ↑ ↗
← N  8.591884°
E 15.990601°		 ← 603.93 m → N  8.591884°
E 15.996094°		 →
↑
603.97 m
↓
↑
603.97 m
↓
N  8.586453°
E 15.990601°		 ← 603.94 m →
364 761 m²		 N  8.586453°
E 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544425964355469 y=0.476051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544425964355469 × 216)
    floor (0.544425964355469 × 65536)
    floor (35679.5)     		tx = 35679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476051330566406 × 216)
    floor (0.476051330566406 × 65536)
    floor (31198.5)     		ty = 31198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35679 / 31198 ti = "16/35679/31198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35679/31198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35679 ÷ 216
    35679 ÷ 65536     		x = 0.544418334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31198 ÷ 216
    31198 ÷ 65536     		y = 0.476043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544418334960938 × 2 - 1) × π
    0.088836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27908863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.476043701171875 × 2 - 1) × π
    0.04791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.150521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27908863} λ = 0.27908863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150521864806976))-π/2
    2×atan(1.16244072136727)-π/2
    2×0.860376499311289-π/2
    1.72075299862258-1.57079632675     		φ = 0.14995667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27908863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14995667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.591884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35679 KachelY 31198 0.27908863 0.14995667 15.990601 8.591884
    Oben rechts KachelX + 1 35680 KachelY 31198 0.27918450 0.14995667 15.996094 8.591884
    Unten links KachelX 35679 KachelY + 1 31199 0.27908863 0.14986187 15.990601 8.586453
    Unten rechts KachelX + 1 35680 KachelY + 1 31199 0.27918450 0.14986187 15.996094 8.586453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14995667-0.14986187) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dl = 603.970799999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14995667-0.14986187) × R
    9.47999999999782e-05 × 6371000     		dr = 603.970799999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27908863-0.27918450) × cos(0.14995667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988777552162117 × 6371000     		do = 603.933236111145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27908863-0.27918450) × cos(0.14986187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98879171039239 × 6371000     		du = 603.941883785041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14995667)-sin(0.14986187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988777552162117-0.98879171039239)×R²
    abs(0.27918450-0.27908863)×1.41582302731758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41582302731758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41582302731758e-05×40589641000000     		ar = 364760.651505047m²