Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35677 / 31459
↖ ↑ ↗
← N  7.171751°
E 15.979614°		 ← 606.07 m → N  7.171751°
E 15.985108°		 →
↑
606.01 m
↓
↑
606.01 m
↓
N  7.166301°
E 15.979614°		 ← 606.08 m →
367 288 m²		 N  7.166301°
E 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544395446777344 y=0.480033874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544395446777344 × 216)
    floor (0.544395446777344 × 65536)
    floor (35677.5)     		tx = 35677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480033874511719 × 216)
    floor (0.480033874511719 × 65536)
    floor (31459.5)     		ty = 31459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35677 / 31459 ti = "16/35677/31459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35677/31459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35677 ÷ 216
    35677 ÷ 65536     		x = 0.544387817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31459 ÷ 216
    31459 ÷ 65536     		y = 0.480026245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544387817382812 × 2 - 1) × π
    0.088775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27889688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480026245117188 × 2 - 1) × π
    0.039947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.125498803205307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27889688} λ = 0.27889688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125498803205307))-π/2
    2×atan(1.13371381213704)-π/2
    2×0.847983493965134-π/2
    1.69596698793027-1.57079632675     		φ = 0.12517066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27889688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12517066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.171751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35677 KachelY 31459 0.27889688 0.12517066 15.979614 7.171751
    Oben rechts KachelX + 1 35678 KachelY 31459 0.27899276 0.12517066 15.985108 7.171751
    Unten links KachelX 35677 KachelY + 1 31460 0.27889688 0.12507554 15.979614 7.166301
    Unten rechts KachelX + 1 35678 KachelY + 1 31460 0.27899276 0.12507554 15.985108 7.166301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12517066-0.12507554) × R
    9.51199999999763e-05 × 6371000     		dl = 606.009519999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12517066-0.12507554) × R
    9.51199999999763e-05 × 6371000     		dr = 606.009519999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27889688-0.27899276) × cos(0.12517066) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.992176375790636 × 6371000     		do = 606.072407572699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27889688-0.27899276) × cos(0.12507554) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.992188246469094 × 6371000     		du = 606.079658794204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12517066)-sin(0.12507554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992176375790636-0.992188246469094)×R²
    abs(0.27899276-0.27889688)×1.18706784576483e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.18706784576483e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.18706784576483e-05×40589641000000     		ar = 367287.846229895m²