Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35673 / 31461
↖ ↑ ↗
← N  7.160850°
E 15.957642°		 ← 606.02 m → N  7.160850°
E 15.963135°		 →
↑
606.07 m
↓
↑
606.07 m
↓
N  7.155399°
E 15.957642°		 ← 606.03 m →
367 297 m²		 N  7.155399°
E 15.963135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544334411621094 y=0.480064392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544334411621094 × 216)
    floor (0.544334411621094 × 65536)
    floor (35673.5)     		tx = 35673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480064392089844 × 216)
    floor (0.480064392089844 × 65536)
    floor (31461.5)     		ty = 31461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35673 / 31461 ti = "16/35673/31461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35673/31461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35673 ÷ 216
    35673 ÷ 65536     		x = 0.544326782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31461 ÷ 216
    31461 ÷ 65536     		y = 0.480056762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544326782226562 × 2 - 1) × π
    0.088653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27851339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480056762695312 × 2 - 1) × π
    0.039886474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.125307055606827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27851339} λ = 0.27851339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125307055606827))-π/2
    2×atan(1.13349644607658)-π/2
    2×0.847888369108487-π/2
    1.69577673821697-1.57079632675     		φ = 0.12498041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27851339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.957642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12498041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.160850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35673 KachelY 31461 0.27851339 0.12498041 15.957642 7.160850
    Oben rechts KachelX + 1 35674 KachelY 31461 0.27860926 0.12498041 15.963135 7.160850
    Unten links KachelX 35673 KachelY + 1 31462 0.27851339 0.12488528 15.957642 7.155399
    Unten rechts KachelX + 1 35674 KachelY + 1 31462 0.27860926 0.12488528 15.963135 7.155399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12498041-0.12488528) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dl = 606.073229999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12498041-0.12488528) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dr = 606.073229999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27851339-0.27860926) × cos(0.12498041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992200109416969 × 6371000     		do = 606.023692224533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27851339-0.27860926) × cos(0.12488528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992211963385714 × 6371000     		du = 606.030932483669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12498041)-sin(0.12488528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992200109416969-0.992211963385714)×R²
    abs(0.27860926-0.27851339)×1.18539687454788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.18539687454788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.18539687454788e-05×40589641000000     		ar = 367296.930943624m²