Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35671 / 31464
↖ ↑ ↗
← N  7.144499°
E 15.946655°		 ← 606.05 m → N  7.144499°
E 15.952148°		 →
↑
606.07 m
↓
↑
606.07 m
↓
N  7.139048°
E 15.946655°		 ← 606.05 m →
367 310 m²		 N  7.139048°
E 15.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544303894042969 y=0.480110168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544303894042969 × 216)
    floor (0.544303894042969 × 65536)
    floor (35671.5)     		tx = 35671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480110168457031 × 216)
    floor (0.480110168457031 × 65536)
    floor (31464.5)     		ty = 31464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35671 / 31464 ti = "16/35671/31464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35671/31464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35671 ÷ 216
    35671 ÷ 65536     		x = 0.544296264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31464 ÷ 216
    31464 ÷ 65536     		y = 0.4801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544296264648438 × 2 - 1) × π
    0.088592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27832164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4801025390625 × 2 - 1) × π
    0.039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.125019434209106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27832164} λ = 0.27832164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125019434209106))-π/2
    2×atan(1.1331704751248)-π/2
    2×0.847745677561322-π/2
    1.69549135512264-1.57079632675     		φ = 0.12469503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27832164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.946655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12469503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.144499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35671 KachelY 31464 0.27832164 0.12469503 15.946655 7.144499
    Oben rechts KachelX + 1 35672 KachelY 31464 0.27841751 0.12469503 15.952148 7.144499
    Unten links KachelX 35671 KachelY + 1 31465 0.27832164 0.12459990 15.946655 7.139048
    Unten rechts KachelX + 1 35672 KachelY + 1 31465 0.27841751 0.12459990 15.952148 7.139048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12469503-0.12459990) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dl = 606.073229999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12469503-0.12459990) × R
    9.51299999999988e-05 × 6371000     		dr = 606.073229999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27832164-0.27841751) × cos(0.12469503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.992235643141665 × 6371000     		do = 606.045395789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27832164-0.27841751) × cos(0.12459990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99224747017332 × 6371000     		du = 606.052619595291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12469503)-sin(0.12459990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992235643141665-0.99224747017332)×R²
    abs(0.27841751-0.27832164)×1.18270316558089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.18270316558089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.18270316558089e-05×40589641000000     		ar = 367310.079907264m²