Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35670 / 104546
↖ ↑ ↗
← S 72.476931°
W 82.029419°		 ← 91.94 m → S 72.476931°
W 82.026673°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
S 72.477757°
W 82.029419°		 ← 91.94 m →
8 452 m²		 S 72.477757°
W 82.026673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272144317626953 y=0.797626495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272144317626953 × 217)
    floor (0.272144317626953 × 131072)
    floor (35670.5)     		tx = 35670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797626495361328 × 217)
    floor (0.797626495361328 × 131072)
    floor (104546.5)     		ty = 104546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35670 / 104546 ti = "17/35670/104546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35670/104546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35670 ÷ 217
    35670 ÷ 131072     		x = 0.272140502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104546 ÷ 217
    104546 ÷ 131072     		y = 0.797622680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272140502929688 × 2 - 1) × π
    -0.455718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43168344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.595245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87001845417839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43168344} λ = -1.43168344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87001845417839))-π/2
    2×atan(0.154120817615826)-π/2
    2×0.15291763047588-π/2
    0.30583526095176-1.57079632675     		φ = -1.26496107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43168344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.029419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26496107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.476931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35670 KachelY 104546 -1.43168344 -1.26496107 -82.029419 -72.476931
    Oben rechts KachelX + 1 35671 KachelY 104546 -1.43163551 -1.26496107 -82.026673 -72.476931
    Unten links KachelX 35670 KachelY + 1 104547 -1.43168344 -1.26497550 -82.029419 -72.477757
    Unten rechts KachelX + 1 35671 KachelY + 1 104547 -1.43163551 -1.26497550 -82.026673 -72.477757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26496107--1.26497550) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26496107--1.26497550) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43168344--1.43163551) × cos(-1.26496107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301089777514699 × 6371000     		do = 91.9413856741932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43168344--1.43163551) × cos(-1.26497550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301076017095988 × 6371000     		du = 91.9371837648019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26496107)-sin(-1.26497550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301089777514699-0.301076017095988)×R²
    abs(-1.43163551--1.43168344)×1.37604187112061e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37604187112061e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37604187112061e-05×40589641000000     		ar = 8452.3029899662m²