Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3567 / 2642
↖ ↑ ↗
← N 53.696707°
W 23.247070°		 ← 2 893.09 m → N 53.696707°
W 23.203125°		 →
↑
2 894.03 m
↓
↑
2 894.03 m
↓
N 53.670680°
W 23.247070°		 ← 2 894.88 m →
8 375 282 m²		 N 53.670680°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43548583984375 y=0.32257080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43548583984375 × 213)
    floor (0.43548583984375 × 8192)
    floor (3567.5)     		tx = 3567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32257080078125 × 213)
    floor (0.32257080078125 × 8192)
    floor (2642.5)     		ty = 2642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3567 / 2642 ti = "13/3567/2642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3567/2642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3567 ÷ 213
    3567 ÷ 8192     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2642 ÷ 213
    2642 ÷ 8192     		y = 0.322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322509765625 × 2 - 1) × π
    0.35498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11520403276099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11520403276099))-π/2
    2×atan(3.05019045447821)-π/2
    2×1.25399032612351-π/2
    2.50798065224703-1.57079632675     		φ = 0.93718433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93718433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.696707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3567 KachelY 2642 -0.40573792 0.93718433 -23.247070 53.696707
    Oben rechts KachelX + 1 3568 KachelY 2642 -0.40497093 0.93718433 -23.203125 53.696707
    Unten links KachelX 3567 KachelY + 1 2643 -0.40573792 0.93673008 -23.247070 53.670680
    Unten rechts KachelX + 1 3568 KachelY + 1 2643 -0.40497093 0.93673008 -23.203125 53.670680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93718433-0.93673008) × R
    0.000454249999999989 × 6371000     		dl = 2894.02674999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93718433-0.93673008) × R
    0.000454249999999989 × 6371000     		dr = 2894.02674999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40497093) × cos(0.93718433) × R
    0.000766989999999967 × 0.592059501225734 × 6371000     		do = 2893.09478002017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40497093) × cos(0.93673008) × R
    0.000766989999999967 × 0.592425517593882 × 6371000     		du = 2894.88331654716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93718433)-sin(0.93673008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592059501225734-0.592425517593882)×R²
    abs(-0.40497093--0.40573792)×0.000366016368148592×R²
    0.000766989999999967×0.000366016368148592×6371000²
    0.000766989999999967×0.000366016368148592×40589641000000     		ar = 8375281.8639557m²