Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35665 / 31539
↖ ↑ ↗
← N  6.735531°
E 15.913696°		 ← 606.57 m → N  6.735531°
E 15.919189°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
N  6.730076°
E 15.913696°		 ← 606.58 m →
367 938 m²		 N  6.730076°
E 15.919189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544212341308594 y=0.481254577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544212341308594 × 216)
    floor (0.544212341308594 × 65536)
    floor (35665.5)     		tx = 35665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481254577636719 × 216)
    floor (0.481254577636719 × 65536)
    floor (31539.5)     		ty = 31539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35665 / 31539 ti = "16/35665/31539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35665/31539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35665 ÷ 216
    35665 ÷ 65536     		x = 0.544204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31539 ÷ 216
    31539 ÷ 65536     		y = 0.481246948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544204711914062 × 2 - 1) × π
    0.088409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27774640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481246948242188 × 2 - 1) × π
    0.037506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.117828899266098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27774640} λ = 0.27774640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117828899266098))-π/2
    2×atan(1.12505159774415)-π/2
    2×0.844176759706414-π/2
    1.68835351941283-1.57079632675     		φ = 0.11755719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27774640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.913696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11755719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.735531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35665 KachelY 31539 0.27774640 0.11755719 15.913696 6.735531
    Oben rechts KachelX + 1 35666 KachelY 31539 0.27784227 0.11755719 15.919189 6.735531
    Unten links KachelX 35665 KachelY + 1 31540 0.27774640 0.11746198 15.913696 6.730076
    Unten rechts KachelX + 1 35666 KachelY + 1 31540 0.27784227 0.11746198 15.919189 6.730076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11755719-0.11746198) × R
    9.52100000000122e-05 × 6371000     		dl = 606.582910000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11755719-0.11746198) × R
    9.52100000000122e-05 × 6371000     		dr = 606.582910000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27774640-0.27784227) × cos(0.11755719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993098107537825 × 6371000     		do = 606.572178494235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27774640-0.27784227) × cos(0.11746198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993109269894725 × 6371000     		du = 606.578996325314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11755719)-sin(0.11746198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993098107537825-0.993109269894725)×R²
    abs(0.27784227-0.27774640)×1.11623568992414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.11623568992414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.11623568992414e-05×40589641000000     		ar = 367938.385223967m²