Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35662 / 37958
↖ ↑ ↗
← S 27.401032°
E 15.897217°		 ← 542.26 m → S 27.401032°
E 15.902710°		 →
↑
542.30 m
↓
↑
542.30 m
↓
S 27.405909°
E 15.897217°		 ← 542.24 m →
294 062 m²		 S 27.405909°
E 15.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544166564941406 y=0.579200744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544166564941406 × 216)
    floor (0.544166564941406 × 65536)
    floor (35662.5)     		tx = 35662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579200744628906 × 216)
    floor (0.579200744628906 × 65536)
    floor (37958.5)     		ty = 37958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35662 / 37958 ti = "16/35662/37958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35662/37958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35662 ÷ 216
    35662 ÷ 65536     		x = 0.544158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37958 ÷ 216
    37958 ÷ 65536     		y = 0.579193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544158935546875 × 2 - 1) × π
    0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.15838623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27745878} λ = 0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497585018056183))-π/2
    2×atan(0.607997190414042)-π/2
    2×0.54627904655256-π/2
    1.09255809310512-1.57079632675     		φ = -0.47823823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47823823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.401032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35662 KachelY 37958 0.27745878 -0.47823823 15.897217 -27.401032
    Oben rechts KachelX + 1 35663 KachelY 37958 0.27755465 -0.47823823 15.902710 -27.401032
    Unten links KachelX 35662 KachelY + 1 37959 0.27745878 -0.47832335 15.897217 -27.405909
    Unten rechts KachelX + 1 35663 KachelY + 1 37959 0.27755465 -0.47832335 15.902710 -27.405909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47823823--0.47832335) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dl = 542.299519999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47823823--0.47832335) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dr = 542.299519999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27745878-0.27755465) × cos(-0.47823823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		do = 542.261715448733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27745878-0.27755465) × cos(-0.47832335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887767917731291 × 6371000     		du = 542.237786748627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47823823)-sin(-0.47832335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887807094514588-0.887767917731291)×R²
    abs(0.27755465-0.27745878)×3.91767832975676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91767832975676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91767832975676e-05×40589641000000     		ar = 294061.779918612m²